2020版高考数学大二轮复习 7.4 算法初步、复数、推理与证明学案 理

-1-第4讲算法初步、复数、推理与证明考点1复数1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.[例1](1)[2019·全国卷Ⅱ]设z＝－3＋2i，则在复平面内z－对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)[2019·全国卷Ⅰ]设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1【解析】(1)本题主要考查共轭复数及复数的几何意义，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．由题意，得z－＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.(2)本题主要考查复数的模的概念和复数的几何意义，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．通解∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.优解一∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.优解二在复平面内，点(1,1)所对应的复数z＝1＋i满足|z－i|＝1，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，∴排除A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z＝2i满足|z－i|＝1，但点(0,2)不在选项B的圆上，∴排除B.故选C.【答案】(1)C(2)C-2-复数运算问题的解题思路(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解．(2)与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决.『对接训练』1．[2019·河南郑州一测]若复数z满足(3＋4i)z＝25i，其中i为虚数单位，则z的虚部是()A．3iB．－3iC．3D．－3解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(3b＋4a)i，由复数相等的充要条件得到3a－4b＝0,3b＋4a＝25，解得b＝3，故选C.答案：C2．[2019·吉林长春外国语学校测评]设i为虚数单位，若复数z满足z＝1－i21＋i，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：由题意，得z＝1－i21＋i＝－2i1－i1＋i1－i＝－2－2i2＝－1－i.答案：D考点2程序框图算法的三种基本逻辑结构需注意：循环结构分为当型和直到型两种，当型循环在每次执行循环体前对控制循环的条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足时则停止；直到型循环在执行了一次循环体后，对控制循环的条件进行判断，当条件不满足时执行循环体，满足则停止．两种循环只是实现循环的不同方法，它们是可以相互转化的．[例2](1)[2019·全国卷Ⅰ]如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入()-3-A．A＝12＋AB．A＝2＋1AC．A＝11＋2AD．A＝1＋12A(2)[2019·全国卷Ⅲ]执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于()A．2－124B．2－125C．2－126D．2－127【解析】(1)本题主要考查含有当型循环结构的程序框图，考查考生的推理论证能力，-4-考查的核心素养是逻辑推理．A＝12，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝12＋12，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝12＋12＋12，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝12＋A.故选A.(2)本题主要考查程序框图，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．执行程序框图，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝12，不满足xε＝1100，所以s＝1＋12＝2－121，x＝14，不满足xε＝1100，所以s＝1＋12＋14＝2－122，x＝18，不满足xε＝1100，所以s＝1＋12＋14＋18＝2－123，x＝116，不满足xε＝1100，所以s＝1＋12＋14＋18＋116＝2－124，x＝132，不满足xε＝1100，所以s＝1＋12＋14＋18＋116＋132＝2－125，x＝164，不满足xε＝1100，所以s＝1＋12＋14＋18＋…＋164＝2－126，x＝1128，满足xε＝1100，输出s＝2－126，选C.【答案】(1)A(2)C(1)求输出结果的题目，要认清输出变量是什么，有的是求函数值，有的是求和、差、积、商的运算结果，有的是计数变量等．(2)求循环条件首先看懂每个图形符号的意义和作用，其次“试走几步”循环体，体会循环体的内容和功能，最后利用判断框中的条件确定循环的次数.『对接训练』3．[2019·北京卷]执行如图所示的程序框图，输出的s值为()-5-A．1B．2C．3D．4解析：本题主要考查程序框图，考查考生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算和逻辑推理．执行程序框图，k＝1，s＝2×13×1－2＝2；k＝2，s＝2×43×2－2＝2；k＝3，s＝2×43×2－2＝2，跳出循环．输出的s＝2.故选B.答案：B4．[2019·河北唐山摸底]如图所示的程序框图的功能是()A．求1－13＋15－17＋…－119的值B．求1＋13＋15＋17＋…＋119的值C．求1＋13＋15＋17＋…＋121的值D．求1－13＋15－17＋…＋121的值-6-解析：输入a＝1，n＝1，S＝0；S＝1，a＝－1，n＝3；S＝1－13，a＝1，n＝5；S＝1－13＋15，a＝－1，n＝7；S＝1－13＋15－17，a＝1，n＝9；…；S＝1－13＋15－17＋…－119，a＝1，n＝21,2119，退出循环．输出S＝1－13＋15－17＋…－119，故选A.答案：A考点3推理与证明归纳推理是从特殊到一般的推理，所以应根据题中所给的图形、数据、结构等着手分析，尽可能多地列举出来，从而找出一般性的规律或结论．演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．对于较复杂一点的证明题常常要用几个三段论才能完成．[例3](1)[2019·陕西西安中学模拟]由①安梦怡是高三(21)班学生；②安梦怡是独生子女；③高三(21)班的学生都是独生子女．写一个“三段论”形式的推理，则大前提、小前提和结论分别为()A．②①③B．③①②C．①②③D．②③①(2)[2019·湖南岳阳一中质检]观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．－g(x)B．f(x)C．－f(x)D．g(x)【解析】(1)因为高三(21)班的学生都是独生子女，而安梦怡是高三(21)班学生，所以安梦怡是独生子女．故选B.(2)在(x2)′＝2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；(x4)′＝4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；(cosx)′＝－sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数．由此我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，又g(x)为f(x)的导函数，所以g(x)为奇函数，故g(－x)＋g(x)＝0，即g(－x)＝－g(x)，故选A.【答案】(1)B(2)A合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联-7-系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理的关键是找规律，类比推理的关键是看共性.『对接训练』5．[2019·黑龙江齐齐哈尔五校联考]不难证明：一个边长为a，面积为S的正三角形的内切圆半径r＝2S3a，由此类比到空间，若一个正四面体的一个面的面积为S，体积为V，则其内切球的半径为________．解析：由题意得3·12ar＝S，故r＝2S3a.将此方法类比到正四面体，设正四面体内切球的半径为R，则4·13SR＝V，所以R＝3V4S，即内切球的半径为3V4S.答案：3V4S课时作业20算法初步、复数、推理与证明1．[2019·陕西四校联考](－1＋3i)(3－i)＝()A．10B．－10C．10iD．－10i解析：(－1＋3i)(3－i)＝－3＋i＋9i＋3＝10i.故选C.答案：C2．[2019·贵州37校联考]复数z＝1＋i1－i的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．iD．－i解析：因为z＝1＋i1－i＝i，故z的共轭复数z－＝－i，故选D.答案：D3．[2019·广东江门调研]执行如图所示的程序框图，若判断框内为“i≤3”，则输出S-8-＝()A．2B．6C．10D．34解析：因为“i≤3”，所以执行程序框图，第一次执行循环体后，j＝2，S＝2，i＝2≤3；第二次执行循环体后，j＝4，S＝10，i＝3≤3；第三次执行循环体后，j＝8，S＝34，i＝43，退出循环．所以输出S＝34.故选D.答案：D4．[2019·四川成都高新区模拟]执行如图所示的程序框图，输出K的值为()A．99B．98C．100D．101解析：执行程序框图，得K＝1，S＝0；S＝0＋lg1＋11＝lg2，K＝2；S＝lg2＋lg2＋12＝lg3，K＝3；S＝lg3＋lg3＋13＝lg4，K＝4；S＝lg4＋lg4＋14＝lg5，K＝5；…；S＝lg98＋lg98＋198＝lg99，K＝99；S＝lg99＋lg99＋199＝lg100＝2，退出循环．所以输出K＝99，故选A.答案：A5．[2019·湖北孝感协作体联考]设a，b∈R，现给出下列五个条件：①a＋b＝2；②a＋-9-b2；③a＋b－2；④ab1；⑤logab0(a0，且a≠1)．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件为()A．②③④B．②③④⑤C．①②③⑤D．②⑤解析：a＝b＝1时，a＋b＝2，所以推不出a，b中至少有一个大于1，①不符合；当a＝b＝0时，a＋b－2，推不出a，b中至少有一个大于1，③不符合；当a＝b＝－2时，ab1，推不出a，b中至少有一个大于1，④不符合；对于②，假设a，b都不大于1，即a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与a＋b2矛盾，所以②能推出a，b中至少有一个大于1；对于⑤，假设a，b都不大于1，则logab≥loga1＝0，与logab0矛盾，故⑤能推出a，b中至少有一个大于1.综上，选D.答案：D6．[2019·湖南株洲质检]已知复数z满足(1－i)z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于()A．1－iB．1＋iC.12－12iD.12＋12i解析：由(1－i)z＝|2i|，可得z＝21－i＝21＋i2＝1＋i，故选B.答案：B7．[2019·重庆调研]执行如图所示的程序框图，当输出的值为1时，输入的x值是()A．±1B．1或3C．－3或1D．－1或3解析：因为输出的值为1，所以根据程序框图可知x0，2－x2＝1或x≤0，x2－2＝1，得x＝1或x＝－3，故选C.答案：C8．[2019·陕西第二次质检]一布袋中装有n个小球，甲、乙两个同学轮流抓球，且不放回，每次最少抓一个球，最多抓三个球．规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是()A．若n＝9，则乙有必赢的策略B．若n＝7，则甲有必赢的