2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题4 立体几何 第1讲 空间几何体的表面积、体积及有关量的计

-1-第1讲空间几何体的表面积、体积及有关量的计算[做小题——激活思维]1．已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A．1cmB．2cmC．3cmD．32cmB[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．]2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋2πB.13π6C.7π3D.5π2B[由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝13π6.]3．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．92π[设正方体的棱长为a，则6a2＝18，∴a＝3.设球的半径为R，则由题意知2R＝a2＋a2＋a2＝3，∴R＝32.故球的体积V＝43πR3＝43π×323＝92π.]4.如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D­A1BC的体积是________．-2-233[VD­A1BC＝VB1­A1BC＝VA1­B1BC＝13×S△B1BC×3＝233.]5．[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有____________个面，其棱长为____________．图1图2262－1[先求面数有如下两种方法．法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2.(欧拉公式)由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝22x.又AM＋MN＋NF＝1，∴22x＋x＋22x＝1.∴x＝2－1，即半正多面体的棱长为2－1.][扣要点——查缺补漏]-3-1．空间几何体分为多面体和旋转体研究其特性常采用化空间为平面的方法，如截面图、轴截面等，如T5.2．旋转体的表面积和体积公式(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl，S圆台侧＝π(r1＋r2)l，S球＝4πR2，V柱＝sh，V锥＝13sh，V球＝43πR3，如T1.(2)球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r＝R2－d2.3．空间几何体的体积与表面积求法(1)割补法：求不规则几何体的体积或表面积时，通过割补，转化成规则几何体求解．如T2.(2)等积变换：涉及三棱锥的体积，注意灵活选择底面和对应的高．如T4.4．多面体与球(1)当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的体对角线长等于球的直径；当球与正方体各棱都相切时，球的直径等于正方体底面的对角线长．如T3.(2)若正四面体的棱长为a，则正四面体的外接球半径为64a，内切球半径为612a.空间几何体的三视图、展开图、截面图(5年3考)[高考解读]高考对该点的考查先前以三视图的识别为主，近几年有向侧面展开图、截面图形的性质等方向考查的趋势，总体思路是多考查一点空间想象能力.1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217B．25-4-C．3D．2切入点：先由三视图还原直观图，再把直观图展成平面图．B[由三视图可知，该几何体为如图1所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图2所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝25.故选B.图1图2]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.334B.233C.324D.32切入点：将每条棱所在直线与平面α所成的角相等转化为共顶点的三条棱所在直线与平面α所成角相等．A[记该正方体为ABCD­A′B′C′D′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A′A，A′B′，A′D′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥A′­AB′D′是正三棱锥，所以A′A，A′B′，A′D′与平面AB′D′所成的角都相等．分别取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面AB′D′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝22，所以该正六边形的面积为6×34×222＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334，故选A.]立体几何中的“截、展”(1)“截”，指的是截面，如柱、锥、台的直截面、斜截面以及旋转体的轴截面，它们集中反映了几何体的主要元素的数量关系，能够列出有关量的关系．(2)“展”，指的是侧面展开图，在有关沿表面的最短路径问题中，就是求侧面或某些面展开图上两点间的距离，即将空间问题转化为平面问题．一般多面体常以棱所在的直线为剪-5-开线展开，旋转体以母线为剪开线展开．1．(三视图的识别)榫卯，是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．凸出部分叫榫(或叫榫头)；凹进部分叫卯(或叫榫眼、榫槽)．其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧．若如图3摆放的木构件是由带榫、卯的木构件咬合成的，则图中带卯的木构件的俯视图可以是()ABCDB[根据题意，因为有凹进部分的木构件叫卯，所以带卯的木构件是题图2.则该带卯的木构件的俯视图即为选项B中的图示．故选B.]2.(侧面展开图)如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为43m，则圆锥底面圆的半径等于________m.43[把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP＝4，PP′＝43，则cos∠POP′＝42＋424322×4×4＝－12，所以∠POP′＝2π3.设底面圆的半径为r，则2πr＝2π3×4，所以r＝43.]3．(截面的计算问题)已知圆锥的底面直径为3，母线长为1，过圆锥的顶点，作圆锥的截面，则截面面积的最大值为________．12[由于圆锥的底面直径为3，母线长为1，设圆锥轴截面的顶角为-6-α，则cosα＝1＋1－32×1×1＝－12.又α∈(0，π)，∴α＝2π3.因等截面面积的最大值为12×1×1×sinπ2＝12.]几何体的表面积和体积(5年9考)[高考解读]高考对该点的考查主要有两种，一是以三视图为载体考查简单几何体或组合体的表面积或体积；二是利用空间几何体的几何特征及体面积求其它几何量.1．[一题多解](2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90πB．63πC．42πD．36πB[法一：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.法二：(估值法)由题意知，12V圆柱＜V几何体＜V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.]2．(2012·山东高考)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为________．切入点：利用等体积法，即VF­DED1＝VD1­EDF可求．-7-16[三棱锥D1­EDF的体积即为三棱锥F­DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD­A1B1C1D1中△EDD1的面积为定值12，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VF­DD1E＝13×12×1＝16.]3．[重视题](2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.118.8[由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．][教师备选题]1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．415[如图，连接OD，交BC于点G，由题意，知OD⊥BC，OG＝36BC.设OG＝x，则BC＝23x，DG＝5－x，三棱锥的高h＝DG2－OG2-8-＝25－10x＋x2－x2＝25－10x，S△ABC＝12×23x×3x＝33x2，则三棱锥的体积V＝13S△ABC·h＝3x2·25－10x＝3·25x4－10x5.令f(x)＝25x4－10x5，x∈0，52，则f′(x)＝100x3－50x4.令f′(x)＝0得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)单调递增，当x∈2，52时，f′(x)0，f(x)单调递减，故当x＝2时，f(x)取得最大值80，则V≤3×80＝415.∴三棱锥体积的最大值为415cm3.]2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A．17πB．18πC．20πD．28πA[由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R，则43πR3－18×43πR3＝283π，解得R＝2.因此它的表面积为78×4πR2＋34πR2＝17π.故选A.]空间几何体的表面积与体积的求法(1)求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．如真题2.(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．如真题1.(3)已知几何体的三视