2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题7 选考4系列 第1讲 坐标系与参数方程教案 理 选修4-

-1-第1讲选修4－4坐标系与参数方程极坐标与曲线的极坐标方程(5年5考)[高考解读]以极坐标系下两曲线的位置关系为载体，考查极坐标的表示、极径的几何意义，极坐标与直角坐标的互化等问题，考查学生的等价转化能力、逻辑推理及数学运算的素养.1．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的圆心分别是(1,0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧AB︵，曲线M2是弧BC︵，曲线M3是弧CD︵.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．[解](1)由题设可得，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π3或3，2π3或3，5π6.2．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；-2-(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．[解](1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.[教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．[解](1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为12.2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2-3-的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．[解](1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ10)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·sinα－π3＝2sin2α－π3－32≤2＋3.当α＝－π12时，S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3.1．极径的几何意义及其应用(1)几何意义：极径ρ表示极坐标平面内点M到极点O的距离．(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．2．极坐标化直角坐标的常用技巧(1)通常要用ρ去乘方程的两边，使之出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ的形式．(2)含关于tanθ的方程用公式tanθ＝yx.1．(极坐标的表示)(2019·兰州模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρcosθ＝3，曲线C2：ρ＝4cosθ0≤θ＜π2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设点Q在C2上，OQ→＝23QP→，求动点P的极坐标方程．[解](1)联立ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ，得cosθ＝±32，-4-因为0≤θ≤π2，θ＝π6，ρ＝23，所以所求交点的极坐标为23，π6.(2)设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)且ρ0＝4cosθ0，θ0∈0，π2，由已知OQ→＝23QP→，得ρ0＝25ρ，θ0＝θ，所以25ρ＝4cosθ，点P的极坐标方程为ρ＝10cosθ，θ∈0，π2.2．(极坐标同直角坐标的互化)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[解](1)由ρ＝2，知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4，因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.3．(极坐标的应用)(2019·郑州模拟)已知曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(－4,0)，求△MPQ的面积．[解](1)曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，把x＝ρcosθy＝ρsinθ代入可得，曲线C1的极坐标方程为ρ＝6sinθ.-5-设B(ρ，θ)，则Aρ，θ－π2，则ρ＝6sinθ－π2＝－6cosθ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝－6cosθ.(2)M到直线θ＝5π6的距离为d＝4sin5π6＝2，射线θ＝5π6与曲线C1的交点P3，5π6，射线θ＝5π6与曲线C2的交点Q33，5π6，所以|PQ|＝33－3，故△MPQ的面积S＝12×|PQ|×d＝33－3.曲线的参数方程(5年4考)[高考解读]以直线、圆及圆锥曲线的参数方程为载体，考查参数方程同普通方程的互化，参数的几何意义，以及解析几何中的最值、范围、位置关系等问题，考查数学运算及等价转化的数学素养.(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．[解](1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当21＋k2＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈π4，π2或α∈π2，3π4.综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinαt为参数，π4＜α＜3π4.-6-设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα，所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2αα为参数，π4＜α＜3π4.[教师备选题](2014·全国卷Ⅰ)已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[解](1)曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.1．直线方程中参数t的几何意义的应用经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．若A，B-7-为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0＝t1＋t22；(2)|PM|＝|t0|＝t1＋t22；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.2．求椭圆、双曲线等曲线上的点到直线的距离的最值时，往往通过参数方程引入三角函数，再借助三角函数的性质进行求解．掌握参数方程与普通方程互化的规律是求解此类问题的关键．3．不能忽视所给直线方程是不是直线的标准参数方程，非标准的直线参数方程中的t不具有几何意义．1．(参数的几何意义的应用)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2＋y2＝4，直线l的参数方程为x＝－2－t，y＝33＋3t(t为参数)，若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线C2.(1)写出曲线C2的参数方程；(2)设点P(－2,33)，直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求1|PA|＋1|PB|的值．[解](1)若将曲线C1上的点的纵坐标变为原来的32倍，则曲线C2的直角坐标方程为x2＋23y2＝4，整理得x24＋y29＝1，∴曲线C2的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．(2)将直线l的参数方程化为标准形式为x＝－2－12t′，y＝33＋32t′(t′为参数)，将参数方程代入x24＋y29＝1，得－2－12t′24＋33＋32t′29＝1，-8-整理得74(t′)2＋18t′＋36＝0.|PA|＋|PB|＝|t1′＋t2′|＝727，|PA||PB|＝t1′t2′＝1447.∴1|PA|＋1|PB|＝|PA|＋|PB||PA||PB|＝7271447＝12.2．(参数方程的应用)(2019·贵阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝22ty＝22t＋42(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴