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-1-2.数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想.借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想.数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.应用1在求最值、零点等问题中的应用【典例1】(1)记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值为()A．5B．6C．8D．10(2)已知函数f(x)＝|x|，x≤m，x2－2mx＋4m，x＞m，其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．切入点：(1)画出函数f(x)的图象，借助图象，直观可得最值．(2)画出y＝f(x)及y＝b的图象，数形结合求解．(1)C(2)(3，＋∞)[(1)在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的图象如图．由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3,13－x}为y＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y＝13－x点C下方的部分的组合图，显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3,13－x}取得最大值．解方程组y＝x＋3，y＝13－x得点C(5,8)．所以f(x)max＝8.(2)作出f(x)的图象如图所示．当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2.∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得m＞3.]-2-【对点训练1】(1)(2019·天津高考)已知函数f(x)＝2x，0≤x≤1，1x，x＞1.若关于x的方程f(x)＝－14x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A.54，94B.54，94C.54，94∪{1}D.54，94∪{1}(2)(2019·乌鲁木齐高三质量检测)函数f(x)＝12－x的图象与函数g(x)＝2sinπ2x在区间[0,4]上的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…＋xn)＝________.(1)D(2)12[(1)如图，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－14x＋a的图象．①先研究当0≤x≤1时，直线y＝－14x＋a与y＝2x的图象只有一个交点的情况．当直线y＝－14x＋a过点B(1,2)时，2＝－14＋a，解得a＝94.所以0≤a≤94.②再研究当x＞1时，直线y＝－14x＋a与y＝1x的图象只有一个交点的情况：相切时，由y′＝－1x2＝－14，得x＝2，此时切点为2，12，则a＝1.相交时，由图象可知直线y＝－14x＋a从过点A向右上方移动时与y＝1x的图象只有一个交点．过点A(1,1)时，1＝－14＋a，解得a＝54.所以a≥54.结合图象可得，所求实数a的取值范围为54，94∪{1}．故选D.(2)如图，画出函数f(x)和g(x)在[0,4]上的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)-3-＝f(0)＋g(8)＝12＋0＝12.]应用2在求解不等式或参数范围中的应用【典例2】已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0，lnx＋1x＞0.若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]切入点：先画出函数的图象，数形结合求解．D[作出函数y＝|f(x)|的图象，如图，当|f(x)|≥ax时，必有k≤a≤0，其中k是y＝x2－2x(x≤0)在原点处的切线斜率，显然，k＝－2.∴a的取值范围是[－2,0]．]【对点训练2】(1)(2019·武昌模拟)设x，y满足约束条件x－4y＋3≤0，x＋2y－9≤0x≥1，则z＝2x＋y的取值范围是()A．[2,6]B．[3,6]C．[3,12]D．[6,12](2)(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－89，则m的取值范围是()A.－∞，94B.－∞，73C.－∞，52D.－∞，83(1)C(2)B[(1)不等式组x－4y＋3≤0，x＋2y－9≤0，x≥1表示的平面区域如图中三角形ABC(包括边界)所示，作出直线2x＋y＝0并平移，可知当直线z＝2x＋y经过点A时，z取得最小值，解方程组x＝1，x－4y＋3＝0，得x＝1y＝1，即A(1,1)，所以zmin＝2×1＋1＝3，当直线z＝2x＋y经-4-过点B时，z取得最大值，解方程组x－4y＋3＝0，x＋2y－9＝0，得x＝5y＝2，即B(5,2)，所以zmax＝2×5＋2＝12，所以z的取值范围为[3,12]，故选C.(2)当－1＜x≤0时，0＜x＋1≤1，则f(x)＝12f(x＋1)＝12(x＋1)x；当1＜x≤2时，0＜x－1≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；当2＜x≤3时，0＜x－2≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，…由此可得f(x)＝…12x＋1x，－1＜x≤0，xx－10＜x≤1，2x－1x－21＜x≤2，22x－2x－32＜x≤3，…由此作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知当2＜x≤3时，令22(x－2)(x－3)＝－89，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝73或x＝83，将这两个值标注在图中．要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－89，必有m≤73，即实数m的取值范围是－∞，73，故选B.]应用3在平面向量中的应用【典例3】已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()A.2－1B.2C.2＋1D.2＋2切入点：a，b是单位向量，a·b＝0可联想坐标法，以a，b所在直线建系求解．C[∵|a|＝|b|＝1，且a·b＝0，∴可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．∴c－a－b＝(x－1，y－1)．∵|c－a－b|＝1，∴x－12y－12＝1，-5-即(x－1)2＋(y－1)2＝1.又|c|＝x2＋y2，如图所示．由图可知，当c对应的点(x，y)在点C处时，|c|有最大值且|c|max＝12＋12＋1＝2＋1.]【对点训练3】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A.3－1B.3＋1C．2D．2－3A[设O为坐标原点，a＝OA→，b＝OB→＝(x，y)，e＝(1,0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为π3，所以不妨令点A在射线y＝3x(x＞0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|CA→|－|CB→|＝3－1.故选A.]应用4在解析几何中的应用【典例4】(1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．4(2)已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．切入点：(1)∠APB＝90°，则点P落在以AB为直径的圆上，画出图形，结合点与圆的位置关系求解．(2)画出图形，结合图形知△APF的周长取得最小值时P点的位置．(1)B(2)－2，12[(1)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.-6-(2)因为(－2)2＜8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12，故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为－2，12.]【对点训练4】已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________．22[从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积S△PAC＝12|PA|·|AC|＝12|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA|＝|PC|2－|AC|2＝22.所以(S四边形PACB)min＝2×12×|PA|×|AC|＝22.]