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-1-解密高考①三角函数问题重在“变”——变角、变式————[思维导图]————————[技法指津]————1．常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换；(2)已知角与目标角的变换；(3)角与其倍角的变换；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝α－β2－α2－β.2．常用的变式技巧主要从函数名、次数、系数方面入手，常见的有：(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；(2)涉及sinx±cosx、sinx·cosx的问题，常做换元处理，如令t＝sinx±cosx∈[－2，2]，将原问题转化为关于t的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．,母题示例：2019年全国卷Ⅲ，本小题满分12分△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.本题考查：本题主要考查正弦定理、诱导公式、三角恒等变换、三角形的面积公式，考查学生的数学运算、转化与化归等能力，考查学生的逻辑推理及数学运算等核心素养.[审题指导·发掘条件]-2-(1)看到asinA＋C2＝bsinA，想到正弦定理，要求B，需求B的某一个三角函数值，可考虑将asinA＋C2＝bsinA转化为与B的三角函数相关的等式求解．(2)看到求△ABC面积的范围，想到利用面积公式去求△ABC的面积，结合第(1)问，选择S＝12acsinB，注意到条件c＝1，想到asinA＝csinC，△ABC为锐角三角形可建不等式．[规范解答·评分标准](1)根据题意asinA＋C2＝bsinA，得sinAsinA＋C2＝sinBsinA因为0＜A＜π，故sinA＞0，消去sinA得sinA＋C2＝sinB,0＜B＜π，0＜A＋C2＜π，故A＋C2＝B或者A＋C2＋B＝π，而根据题意A＋B＋C＝π，A＋C2＋B＝π不成立，所以A＋C2＝B，又因为A＋B＋C＝π，代入得3B＝π，所以B＝π3.·······················6分(2)因为△ABC是锐角三角形，由(1)知B＝π3，A＋B＋C＝π得到A＋C＝23π，故0＜C＜π2，0＜2π3－C＜π2，解得π6＜C＜π2.··············8分又应用正弦定理asinA＝csinC，c＝1，由三角形面积公式有：S△ABC＝12ac·sinB＝12c2ac·sinB＝12c2sinAsinC·sinB＝34·sin2π3－CsinC＝34·sin2π3cosC－cos2π3sinCsinC＝34·sin2π31tanC－cos2π3＝381tanC＋38.·············10分-3-又因π6＜C＜π2，tanC＞33，故38＜381tanC＋38＜32，故38＜S△ABC＜32.故S△ABC的取值范围是38，32.········12分[构建模板·两种思路]1．利用正、余弦定理求解问题的思路为“角化边”“边化角”2．三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半”．母题突破1：2019年昆明模拟在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2acosA－bcosC＝ccosB.(1)求角A；(2)若a＝3，△ABC的面积为334，求△ABC的周长．[解](1)∵2acosA－bcosC＝ccosB，∴2sinAcosA－sinBcosC＝sinCcosB.∴2sinAcosA＝sinA，∵sinA≠0，∴cosA＝12.∴A＝π3-4-(2)S＝12bcsinA＝334.∴bc＝3.∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＝6，∴(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝6＋6＝12，∴b＋c＝23∴△ABC的周长为a＋b＋c＝33.母题突破2：2019年泉州模拟已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cacosB＝tanA＋tanB.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC的面积的最大值．[解](1)在△ABC中，∵3cacosB＝tanA＋tanB，∴3sinCsinAcosB＝sinAcosA＋sinBcosB，即3sinCsinAcosB＝sinAcosB＋sinBcosAcosAcosB，∴3sinA＝1cosA，则tanA＝3，又0＜A＜π，∴A＝π3.(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，又a＝2，∴4＝b2＋c2－bc.又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立，∴bc≤4.∴△ABC面积的最大值Smax＝12bcsinAmax＝12×4×sinπ3＝3.