2020版高考数学二轮复习 第3部分 策略2 巧用8招秒杀选择、填空题教案 文

-1-策略2巧用8招秒杀选择、填空题解法1巧取特值有效求参【典例1】已知函数f(x)＝|log2x|，0＜x≤2，log24－x2＜x＜4，若f(a)≥fa＋12，则a的取值范围是()A.0，12∪2，72B.0，12∪74，72C.0，17－14∪2，72D.0，17－14∪74，72D[(特殊值法)当a＝74时，f(a)＝f74＝log274＝log274，fa＋12＝f94＝log274，所以f(a)＝fa＋12成立，排除A，C.因为17－14－12＝17－34＞0，而17－14－34＝17－44＞0，34＞12，所以当a＝34时，f(a)＝f34＝log234＝－log234，fa＋12＝f54＝log254＝log254，－log234＞log254，所以f(a)＞fa＋12成立，排除B.选D.]对于常见的求参数范围的选择题，常常可以通过选项中的范围取特殊值验证题中条件，或者通过题中条件取特殊值检验选项，从而利用排除法求解，避免整体研究一般规律或所有情况，起到“以点透面”的作用.【链接高考1】(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x0，则满足f(x＋1)f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，0)-2-D[取x＝－12，则f(x＋1)＝f12＝1，f(2x)＝f(－1)＝2，f(x＋1)＜f(2x)，因为－12不在(－∞，－1]上，故A错误．取x＝1，则f(x＋1)＝f(2)＝1，f(2x)＝f(2)＝1，f(x＋1)＝f(2x)，因1∈(0，＋∞)，故B错误．取x＝－2，则f(x＋1)＝f(－1)＝2，f(2x)＝f(－4)＝16，f(x＋1)＜f(2x)，因－2∉(－1,0)，故C错误．故选D.]解法2巧构函数妙破压轴【典例2】已知f(x)是定义在R上的奇函数，记f(x)的导函数为f′(x)，当x≥0时，f′(x)－f(x)＞0.若∃x∈[－2，＋∞)，使得不等式f[ex(x3－3x＋3)]≤f(aex＋x)成立，则实数a的最小值为()A.2e－1B．2－2eC．1＋2e2D．1－1eD[令g(x)＝fxex(x≥0)，则g′(x)＝fxfxex＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(x)＝exg(x)，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在[－2，＋∞)上为增函数．所以“∃x∈[－2，＋∞)，使得f[ex(x3－3x＋3)]≤f(aex＋x)成立”等价于“∃x∈[－2，＋∞)，使得x3－3x＋3≤a＋xex成立”，也就等价于“∃x∈[－2，＋∞)，使得a≥x3－3x＋3－xex成立”．设h(x)＝x3－3x＋3－xex，x∈[－2，＋∞)，所以h′(x)＝3x2－3＋x－1ex＝(x－1)3x＋3＋1ex.令m(x)＝3x＋3＋1ex，x∈[－2，＋∞)，所以m′(x)＝3－1ex，令m′(x)＝0，解得x＝－ln3，当x∈[－2，－ln3)时，m′(x)＜0，函数m(x)单调递减，当x∈[－ln3，＋∞)时，m′(x)＞0，函数m(x)单调递增，所以m(x)≥m(－ln3)＝－3ln3＋3＋3＝3(2－ln3)＞0.-3-令h′(x)＝0，解得x＝1.所以当x∈[－2,1)时，h′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，所以h(x)min＝h(1)＝1－3＋3－1e＝1－1e，所以a≥1－1e.故实数a的最小值为1－1e.故选D.]解决本题的关键在于构造函数：根据“当x≥0时，fx－fx＞0”构造函数gx＝fxexx≥0根据“∃x∈[－2，＋，使得x3－3x＋3≤a＋xex成立”分离参数构造hx＝x3－3x＋3－xex，x∈[－2.【链接高考2】(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x0时，xf′(x)－f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)A[构造函数y＝g(x)＝fxx，通过研究g(x)的图象的示意图与性质得出使f(x)0成立的x的取值范围．设y＝g(x)＝fxx(x≠0)，则g′(x)＝xfxfxx2，当x0时，xf′(x)－f(x)0，∴g′(x)0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如图所示．-4-当x0，g(x)0时，f(x)0,0x1，当x0，g(x)0时，f(x)0，x－1，∴使得f(x)0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.]解法3妙识图象快速判断【典例3】如图，半径为1的圆O中，A，B为直径的两个端点，点P在圆上运动，设∠BOP＝x，将动点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0,2π]上的图象大致为()A[(排除法)以角度为变量的三角函数图象是弯曲的，排除C，D；当∠BOP＝π2时，y＝f(x)＝22＜3，排除B.选A.]对于以选择题出现的函数图象问题，宜用排除法处理，排除法的主要依据有函数的定义域、单调性、奇偶性、图象的变换，特殊值，图象趋势等.一般先考虑奇偶性，再考虑特殊值或者图象趋势.【链接高考3】(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()-5-ABCDB[(排除法)当x∈0，π4时，f(x)＝tanx＋4＋tan2x，图象不会是直线段，从而排除A，C.当x∈π4，3π4时，fπ4＝f3π4＝1＋5，fπ2＝22.∵221＋5，∴fπ2fπ4＝f3π4，从而排除D，故选B.]解法4题现最值信息巧用导数方法【典例4】已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋acos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的最大值为2，且满足f(x)＝fπ2－x，则φ＝()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3D[由f(x)的最大值为2可知a＝±3，且函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称．由题意可得f′(x)＝2cos(2x＋φ)－2asin(2x＋φ)(0＜φ＜π)，则f′π4＝2cosπ2＋φ－2asinπ2＋φ＝－2sinφ－2acosφ＝0(0＜φ＜π)，所以tanφ＝－a(0＜φ＜π)，所以tanφ＝±3(0＜φ＜π)，所以φ＝π3或2π3.故选D.]当题中提供正弦、余弦函数的最值信息常见的有图象、对称轴、最值等时，可以借助导数值探求.-6-【链接高考4】(2013·全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.－255[y＝sinx－2cosx＝515sinx－25cosx，设15＝cosα，25＝sinα，则y＝5(sinxcosα－cosxsinα)＝5sin(x－α)．∵x∈R，∴x－α∈R，∴ymax＝5.又∵x＝θ时，f(x)取得最大值，∴f(θ)＝sinθ－2cosθ＝5.又sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθ＝15，cosθ＝－25，即cosθ＝－255.]解法5巧妙补形妙解立几【典例5】在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A．103πB．18πC．20πD．93πC[(补形法)由题意知，该三棱锥为正六棱柱内的一个三棱锥(如图所示的三棱锥P­ABC)且有PA＝AB＝AC＝2，所以该三棱锥的外接球也是该正六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R为该正六棱柱的体对角线长，即2R＝42＋22＝25⇒R＝5，所以该球的表面积为4πR2＝20π.故选C.]求解本题的关键是根据几何体的几何特征PA⊥底面ABC，∠BAC＝构造恰当且特殊的几何体.【链接高考5】(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分-7-后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15D[(割补法)由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V2＝13－16＝56.所以V1V2＝1656＝15，故选D.]解法6向量坐标化几何代数化【典例6】已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是边BC，AC的中点，点P是线段AC上的动点，则DE→·BP→的取值范围是()A．[0,2]B．[0,1]C．[1,2]D．[0，3]C[(坐标法)由题意知，等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是边BC，AC的中点，点P是线段AC上的动点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1,0，)B(1,0)，C(0，3)，D12，32，E－12，32，DE→＝(－1,0)，设P(x，3＋3x)，x∈[－1,0]，则BP→＝(x－1，3＋3x)，则DE→·BP→＝1－x∈[1,2]．故选C.]根据题目建立平面直角坐标系，将问题代数化，是解决向量问题的重要思路，对于不容易建立坐标系的小题，可考虑将图形特殊化求解.【链接高考6】(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC-8-内一点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值是()A．－2B．－32C．－43D．－1B[方法1：(解析法)建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，3)，B(－1,0)，C(1,0)．图①设P点的坐标为(x，y)，则PA→＝(－x，3－y)，PB→＝(－1－x，－y)，PC→＝(1－x，－y)，∴PA→·(PB→＋PC→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－3y)＝2x2＋y－322－34≥2×－34＝－32.当且仅当x＝0，y＝32时，PA→·(PB→＋PC→)取得最小值，最小值为－32.故选B.方法2：(几何法)图②如图②所示，PB→＋PC→＝2PD→(D为BC的中点)，则PA→·(PB→＋PC→)＝2PA→·PD→.要使PA→·PD→最小，则PA→与PD→方向相反，即点P在线段AD上，则(2PA→·PD→)min＝－2|PA→||PD→|，问题转化为求|PA→|·|PD→|的最大值．又|PA→|＋|PD→|＝|AD→|＝2×32＝3，∴|PA→||PD→|≤|PA→|＋|PD→|22＝322＝34，∴[PA→·(PB→＋PC→)]min＝(2PA→·PD→)min＝－2×34＝－32.-9-故选B.]解法7以“形”助“数”以“数”解“形”【典例7】已知函数f(x)＝|log2x|，0＜x＜2，sinπ4x，2≤x≤10，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x3－2x4－2x1x2的取值范围是()A．(0,12)B．(0,16)C．(9,21)D．(15,25)A[作出函数f(x)＝|log2x|，0＜x＜2，s