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-1-3.分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略，对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.应用1由概念、法则、公式引起的分类讨论【典例1】等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为()A．－3B．1C．－3或1D．1或3C[设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n,3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，所以Sn＝a11－qn1－q，Sn＋2＝a11－qn＋21－q，代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有4－q2＝0，3＋3a1－3q＝0，解得a1＝1，q＝2或a1＝－3，q＝－2，故a1＝1或－3.]本题易忽略对q＝1的情况进行讨论，而直接利用Sn＝a11－qn1－q，很容易造成漏解或增解，若本题是解答题，这种解答是不完备的.本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝a11－qn1－q进行讨论.【对点训练1】(2019·武汉模拟)已知集合A＝{x|x＜－3或x＞7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．(－∞，2)∪(6，＋∞)[当B＝∅时，有m＋1＞2m－1，则m＜2.当B≠∅时，有m＋1≤2m－1，2m－1＜－3或m＋1≤2m－1，m＋1＞7，解得m＞6.-2-综上可知，实数m的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞)．]【对点训练2】一条直线过点(5,2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为()A．x＋y－7＝0B．2x－5y＝0C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0C[设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝25x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则求得a＝7，直线方程为x＋y－7＝0.]应用2由运算、性质引起的分类讨论【典例2】已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则()A．(a－1)(b－1)＜0B．(a－1)(a－b)＞0C．(b－1)(b－a)＜0D．(b－1)(b－a)＞0D[∵a，b＞0且a≠1，b≠1，∴当a＞1，即a－1＞0时，不等式logab＞1可化为alogab＞a1，即b＞a＞1，∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.当0＜a＜1时，即a－1＜0时，不等式logab＞1可化为alogab＜a1，即0＜b＜a＜1，∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.综上可知，选D.]应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的.在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一.【对点训练3】已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.-3-－32[当a＞1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得a－1＋b＝－1，a0＋b＝0无解．当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得a－1＋b＝0，a0＋b＝－1，解得a＝12，b＝－2，所以a＋b＝－32.]【对点训练4】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．[解](1)由cos2C＝1－2sin2C，得sinC＝104.(2)由2sinA＝sinC，得2a＝c，所以c＝4.由sinC＝104，得cosC＝±64.下面分两种情况：①当cosC＝64时，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得b2－6b－12＝0，解得b＝26.②当cosC＝－64时，同理可得b＝6.综上c＝4，b＝26或b＝6.应用3由图形位置或形状分类讨论【典例3】设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求|PF1||PF2|的值．[解]①若∠PF2F1＝90°.则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43，∴|PF1||PF2|＝72.②若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.-4-∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1||PF2|＝2.综上知，|PF1||PF2|＝72或2.本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需要按直角顶点不同的位置进行讨论.破解此类题的关键点：①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定.②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类.③得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理.【对点训练5】正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为()A.833B．43C.239D．43或833D[当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V＝43×233×12×6＝833.]【对点训练6】过双曲线x2－y22＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有()A．1条B．2条C．3条D．4条C[因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件要求；当直线l与实轴垂直时，有3－y22＝1，解得y＝2或y＝－2，所以此时直线AB的长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条．综上，可知有3条直线满足|AB|＝4.]-5-【对点训练7】已知变量x，y满足的不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝()A．－12B.12C．0D．0或－12D[不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足．结合图形可知斜率k的值为0或－12.]应用4由参数变化引起的分类讨论【典例4】设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R，求f(x)的单调区间．[解]由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝3a3或x＝－3a3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－3a3－3a3－3a3，3a33a33a3，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，单调递增区间为－∞，－3a3，-6-3a3，＋∞.本题研究函数性质对参数a进行分类讨论，分为a≤0和a＞0两种情况.若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏.【对点训练8】设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f(x0)＜0和g(x0)＜0同时成立，则实数a的取值范围为()A．(7，＋∞)B．(－∞，－2)∪(6，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－2)∪(7，＋∞)A[由f(x)＝x2－ax＋a＋3，知f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)＜0，所以Δ＝a2－4(a＋3)＞0，解得a＜－2或a＞6.又g(x)＝ax－2a的图象恒过(2,0)，故当a＞6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a＜－2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示．图1图2由函数的图象知，当a＞6时，若g(x0)＜0，则x0＜2，∴要使f(x0)＜0，则需a＞6，f20，解得a＞7.当a＜－2时，若g(x0)＜0，则x0＞2，此时函数f(x)＝x2－ax＋a＋3的图象的对称轴x＝a2＜0，故函数f(x)在区间a2，＋∞上为增函数，又f(1)＝4，∴f(x0)＜0不成立．综上，实数a的取值范围为(7，＋∞)．]【对点训练9】设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.-7-(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．[解](1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.所以f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a＞12，则当x∈1a，2时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在x＝2处取得极小值．若a≤12，则当x∈(0,2)时，x－2＜0，ax－1≤12x－1＜0，所以f′(x)＞0.所以2不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是12，＋∞.