2020版高考数学二轮复习 第3部分 策略4 妙用8个二级结论巧解高考题教案 文

-1-策略4妙用8个二级结论巧解高考题结论1奇函数的最值性质已知函数fx是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有fx＋f－x＝0.特别地，若奇函数fx在D上有最值，则fxmax＋fxmin＝0，且若0∈D，则f＝0.-1-【典例1】设函数f(x)＝x＋12＋sinxx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.2[显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝x＋12＋sinxx2＋1＝1＋2x＋sinxx2＋1，设g(x)＝2x＋sinxx2＋1，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]【链接高考1】(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.－2[由f(a)＝ln(1＋a2－a)＋1＝4，得ln(1＋a2－a)＝3，所以f(－a)＝ln(1＋a2＋a)＋1＝－ln11＋a2＋a＋1＝－ln(1＋a2－a)＋1＝－3＋1＝－2.]结论2函数周期性问题已知定义在R上的函数fx，若对任意的x∈R，总存在非零常数T，使得fx＋T＝fx，则称fx是周期函数，T为其一个周期.,常见的与周期函数有关的结论如下：如果fx＋a＝－fxa，那么fx是周期函数，其一个周期T＝2a.如果fx＋a＝1fxa≠0，那么fx是周期函数，其一个周期T＝2a.如果fx＋a＋fx＝ca，那么fx是周期函数，其一个周期T＝2a.如果fx＝fx＋a＋fx－aa，那么fx是周期函数，其一个周期T＝6a.【典例2】已知定义在R上的函数f(x)满足fx＋32＝－f(x)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2014)＋f(2015)＝()-2-A．－2B．－1C．0D．1A[因为fx＋32＝－f(x)，所以f(x＋3)＝－fx＋32＝f(x)，则f(x)的周期T＝3.则有f(1)＝f(－2)＝－1，f(2)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2014)＋f(2015)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2014)＋f(2015)＋f(2016)－f(2016)＝672×[f(1)＋f(2)＋f(3)]－f(2016)＝－f(0＋3×672)＝－f(0)＝－2，故选A.]【链接高考2】[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50C[法一：因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于坐标原点(0,0)中心对称．数形结合可知函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以当x＝1时，f(2)＝f(0)＝0；当x＝2时，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；当x＝3时，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.综上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sinπx2，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.]结论3函数图象的对称性已知函数fx是定义在R上的函数.若fa＋x＝fb－x恒成立，则y＝fx的图象关于直线x＝a＋b2对称，特别地，若fa＋x＝fa－x恒成立，则y＝fx的图象关于直线x＝a对称.若fa＋x＋fb－x＝c，则y＝fx的图象关于点a＋b2，c2中心对称.特别地，若fa＋x＋fa－x＝2b恒成立，则y＝fx的图象关于点a，b中心对称.)【典例3】已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且在[1，＋∞)上是增函数，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)对任意的x∈12，1恒成立，则实数a的取值范围是()-3-A．[－3，－1]B．[－2,0]C．[－5，－1]D．[－2,1]B[由f(x＋1)＝f(1－x)可知f(x)图象关于x＝1对称，当a＝0时，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)化为f(2)≤f(x－1)，由函数f(x)的图象特征可得|2－1|≤|x－1－1|，解得x≥3或x≤1，满足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)对任意x∈12，1恒成立，由此排除A，C两个选项．当a＝1时，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)化为f(x＋2)≤f(x－1)，由函数f(x)的图象特征可得|x＋2－1|≤|x－1－1|，解得x≤12，不满足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)对任意x∈12，1恒成立，由此排除D选项．综上可知，选B.]【链接高考3】(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0,2)单调递增B．f(x)在(0,2)单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称C[f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝lnu在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A，B错误．∵f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋lnx]＋[lnx＋ln(2－x)]＝2[lnx＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．故选C.]结论4对数、指数形式的经典不等式1．对数形式：1－1x＋1≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)，当且仅当x＝0时，等号成立．2．指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．【典例4】设函数f(x)＝1－e－x.证明：当x＞－1时，f(x)≥xx＋1.[证明]f(x)≥xx＋1(x＞－1)⇔1－e－x≥xx＋1(x＞－1)⇔1－xx＋1≥e－x(x＞－1)⇔1x＋1-4-≥1ex(x＞－1)⇔x＋1≤ex(x＞－1)．由经典不等式ex≥x＋1(x∈R)恒成立可知x＞－1时，ex≥x＋1.即x＞－1时，f(x)≥xx＋1.【链接高考4】(2016·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜x－1lnx＜x；(3)设c1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.[解](1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．(2)证明：由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnx＜x－1.故当x∈(1，＋∞)时，lnx＜x－1，ln1x＜1x－1，即1＜x－1lnx＜x.(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，则g′(x)＝c－1－cxlnc.令g′(x)＝0，解得x0＝lnc－1lnclnc.当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．由(2)知1＜c－1lnc＜c，故0＜x0＜1.又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.结论5等差数列的有关结论1．若Sm，S2m.S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．2．若等差数列{an}的项数为2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S-5-偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，S奇S偶＝amam＋1.3．若等差数列{an}的项数为2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，S奇S偶＝mm－1.【典例5】(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝________.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________.(1)10(2)5[(1)由am－1＋am＋1－a2m＝0得2am－a2m＝0，解得am＝0或2.又S2m－1＝2m－1a1＋a2m－12＝(2m－1)am＝38，显然可得am≠0，所以am＝2.代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得S奇＋S偶＝354，S偶∶S奇＝32∶27，解得S偶＝192，S奇＝162.又S偶－S奇＝6d，所以d＝192－1626＝5.]【链接高考5】(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7C．9D．11A[法一：利用等差数列的性质进行求解．∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝5a1＋a52＝5a3＝5，故选A.法二：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行整体运算．∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋5×42d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.]结论6等比数列的有关结论公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列n∈N*若等比数列的项数为2nn∈N*，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶＝qS奇.-6-已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sm＋n＝Sm＋qmSnm，n∈N*【典例6】(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝()A．2B.73C.83D．3(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝72，S6＝632.①求数列{an}的通项公式；②求log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25的值．(1)B[(1)由已知S6S3＝3，得S6＝3S3，因为S3，S6－S3，S9－S6也为等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，则(2S3)2＝S3(S9－3S3)．化简得S9＝7S3，从而S9S6＝7S33S3＝73.(2)①由S3＝72，S6＝632，得S6＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3，∴q＝2.又S3＝a1(1＋q＋q2)，得a1＝12.故通项公式an＝12×2n－1＝2n－2.②由(1)及题意可得log2an＝n－2，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝251＋232＝275.]【链接高考6】(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________.32[设{an}的