2020版高考数学大二轮复习 6.3 圆锥曲线的综合问题学案 文

-1-第3讲圆锥曲线的综合问题考点1圆锥曲线中的范围、最值问题[例1][2019·辽宁沈阳质监]如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为32，过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的弦长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P(x0，y0)(y0≠0)为椭圆C上一动点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的平分线PM交椭圆C的长轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围．【解析】(1)将x＝c代入x2a2＋y2b2＝1中，由a2－c2＝b2，可得y2＝b4a2，所以过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的弦长为2b2a.由2b2a＝1，ca＝32，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)解法一因为点P(x0，y0)(y0≠0)，F1(－3，0)，F2(3，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为y0x－(x0＋3)y＋3y0＝0，y0x－(x0－3)y－3y0＝0.由题意可知|my0＋3y0|y20＋x0＋32＝|my0－3y0|y20＋x0－32.由于点P在椭圆C上，所以x204＋y20＝1，-2-所以|m＋3|32x0＋22＝|m－3|32x0－22，因为－3m3，－2x02，所以m＋332x0＋2＝3－m2－32x0，即m＝34x0，因此－32m32.故实数m的取值范围为－32，32.解法二设|PF1|＝t，在△PF1M中，tsin∠PMF1＝m＋3sin∠MPF1，在△PF2M中，4－tsin∠PMF2＝3－msin∠MPF2，因为∠PMF1＋∠PMF2＝π，∠MPF1＝∠MPF2，所以t4－t＝3＋m3－m，解得m＝14(23t－43)，因为t∈(a－c，a＋c)，即t∈(2－3，2＋3)，所以－32m32.故实数m的取值范围为－32，32.1．解决圆锥曲线中范围问题的方法一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．2．圆锥曲线中最值的求解策略(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.-3-『对接训练』1．[2019·江西五校协作体联考]在平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)右焦点的直线x＋y－3＝0交M于A，B两点，且椭圆M的离心率为22.(1)求椭圆M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．解析：(1)易知椭圆M的右焦点为(3，0)，则c＝3.离心率e＝ca＝3a＝22，则a＝6，故b2＝a2－c2＝3.所以椭圆M的方程为x26＋y23＝1.(2)由x＋y－3＝0，x26＋y23＝1，解得x＝433，y＝－33或x＝0，y＝3，因此|AB|＝463.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n－533n3，C(x3，y3)，D(x4，y4)．由y＝x＋n，x26＋y23＝1，得3x2＋4nx＋2n2－6＝0，所以x1＋x2＝－4n3，x1x2＝2n2－63.又直线CD的斜率为1，所以|CD|＝2|x4－x3|＝439－n2.由已知得，四边形ACBD的面积S＝12|CD|·|AB|＝8699－n2.当n＝0时，S取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD面积的最大值为863.考点2圆锥曲线中的定点、定值问题-4-[例2][2019·山东德州联考]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，点M－1，32在椭圆C上，椭圆C的离心率是12.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点A为椭圆C长轴的左端点，P，Q为椭圆C上异于长轴端点的两点，记直线AP，AQ斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－14，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】(1)由点M－1，32在椭圆C上，且椭圆C的离心率是12，可得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2，得a2＝4，b2＝3，c2＝1，故椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(ⅰ)当直线PQ的斜率不存在时，由题意易得P1，32，Q1，－32或P1，－32，Q1，32.(ⅱ)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，联立得x24＋y23＝1，y＝kx＋m，消去y得(4k2＋3)x2＋8kmx＋(4m2－12)＝0，由Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝48(4k2－m2＋3)0，得4k2＋3m2，x1＋x2＝－8km4k2＋3，x1x2＝4m2－124k2＋3.由k1k2＝y1y2x1＋2x2＋2＝－14，可得4y1y2＋(x1＋2)(x2＋2)＝0，得4(kx1＋m)(kx2＋m)＋(x1＋2)(x2＋2)＝0，整理为(4k2＋1)x1x2＋(4km＋2)(x1＋x2)＋4m2＋4＝0，故(4k2＋1)4m2－124k2＋3－(4km＋2)8km4k2＋3＋4m2＋4＝0，化简整理得m2－km－2k2＝0，解得m＝2k或m＝－k.当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k，过定点(－2,0)，不合题意．当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k，过定点(1,0)，符合题意．-5-综上，直线PQ过定点(1,0).1．定点问题的求解策略(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．2．定值问题的求解策略定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的.『对接训练』2．[2019·甘肃兰州诊断]已知曲线C上的任意一点到直线l：x＝－12的距离与到点F12，0的距离相等．(1)求曲线C的方程；(2)若过P(1,0)的直线与曲线C相交于A，B两点，Q(－1,0)为定点，设直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，直线AB的斜率为k，证明：1k21＋1k22－2k2为定值．解析：(1)由题意知，曲线C是焦点为F的抛物线，可设其方程为y2＝2px(p0)，则p2＝12，p＝1，∴曲线C的方程为y2＝2x.(2)根据已知，设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由y＝kx－1，y2＝2x可得ky2－2y－2k＝0.设Ay212，y1，By222，y2，则Δ＝4－4k(－2k)＝4＋8k20，y1＋y2＝2k，y1y2＝－2.∵k1＝y1y212＋1＝2y1y21＋2，k2＝y2y222＋1＝2y2y22＋2，∴1k21＋1k22＝y21＋224y21＋y22＋224y22-6-＝y21＋22y22＋y22＋22y214y21y22＝y41y22＋y42y21＋8y21y22＋4y21＋y224y21y22＝8y21＋y22＋3216＝y1＋y22－2y1y2＋42＝4k2＋82＝2k2＋4.∴1k21＋1k22－2k2＝4，为定值．考点3圆锥曲线中的存在性问题[例3][2019·湖北宜昌调研]已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(ab0)的离心率为12，短轴长为23.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点A(0,4)的直线l与椭圆C交于M，N两点，F是椭圆C上的焦点．问：是否存在直线l，使得S△MAF＝S△MNF？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由题可得ca＝12，b＝3，又a2＝b2＋c2，∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的方程为y24＋x23＝1.(2)由题可知直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得y＝kx＋4，y24＋x23＝1，得(3k2＋4)x2＋24kx＋36＝0，-7-∴Δ＝24k2－1443k2＋40，①x1＋x2＝－24k3k2＋4，②x1x2＝363k2＋4.③∵S△MAF＝S△MNF，∴M为线段AN的中点，∴x2＝2x1.④将④式代入②式得x1＝－8k3k2＋4，⑤将④式代入③式得x21＝183k2＋4，⑥将⑤式代入⑥式得k2＝365.⑦将⑦式代入①式检验成立，∴k＝±65，∴存在直线l：6x－5y＋45＝0或6x＋5y－45＝0，使得S△MAF＝S△MNF.求解存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.『对接训练』3．[2019·河北石家庄教学质量检测]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，且经过点－1，32.(1)求椭圆C的方程；(2)过点(3，0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q，-8-使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．解析：(1)由题意可得ca＝32，1a2＋34b2＝1，又a2－b2＝c2，所以a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)存在定点Q433，0，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称．设直线l的方程为x＋my－3＝0，与椭圆C的方程联立得x＋my－3＝0，x24＋y2＝1，整理得，(4＋m2)y2－23my－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t,0)(依题意t≠x1，t≠x2)．由根与系数的关系可得，y1＋y2＝23m4＋m2，y1y2＝－14＋m2.直线QA与直线QB恰关于x轴对称，则直线QA与直线QB的斜率互为相反数，所以y1x1－t＋y2x2－t＝0，即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0.又x1＋my1－3＝0，x2＋my2－3＝0，所以y1(3－my2－t)＋y2(3－my1－t)＝0，整理得，(3－t)(y1＋y2)－2my1y2＝0，从而可得，(3－t)·23m4＋m2－2m·－14＋m2＝0，即2m(4－3t)＝0，所以当t＝433，即Q433，0时，直线QA与直线QB恰关于x轴对称．特别地，当直线l为x轴时，Q433，0也符合题意．综上所述，在x轴上存在定点Q433，0，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称．-9-课时作业15圆锥曲线的综合问题1．[2019·河北邢台模拟]已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．解析：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－1mx＋n.由x22＋y2＝1，y＝－1mx＋n，消去y，得12＋1m2x2－2nmx＋n2－1＝0.因为直线y＝－1mx＋n与椭圆x22＋y2＝1有两个