2020版高考数学大二轮复习 8.1 坐标系与参数方程学案 文

-1-第1讲坐标系与参数方程考点1极坐标1．极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：x＝ρcosθy＝ρsinθ或ρ2＝x2＋y2tanθ＝yxx≠0.顺便指出，上式对ρ0也成立．这就是极坐标与直角坐标的互化公式．2．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R.(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acosθ.(3)圆心在点a，π2处且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.[例1][2019·全国卷Ⅲ][选修4—4：坐标系与参数方程]如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．-2-【解析】本题主要考查极坐标方程的求解，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．(1)由题设可得，弧AB，BC，CD所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π3或3，2π3或3，5π6.(1)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)，一般取θ∈[0,2π)．(2)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境.『对接训练』1．[2019·全国卷Ⅱ][选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解析：本题主要考查直线的极坐标方程、轨迹方程的求解，意在考查考生的逻辑思维能-3-力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.考点2参数方程1．直线的参数方程直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．其中k＝tanα，α为直线的倾斜角，代入上式，得y－y0＝sinαcosα(x－x0)，α≠π2，即x－x0cosα＝y－y0sinα.记上式的比值为t，整理后得x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．这是直线的参数方程，其中参数t有明显的几何意义．在直角三角形M0AM中，|M0A|＝|x－x0|，|MA|＝|y－y0|，|M0M|＝|t|，即|t|表示直线上任一点M到定点M0的距离．2．圆的参数方程若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为x＝x0＋Rcosθ，y＝y0＋Rsinθ(θ为参数)．3．椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点M0(x0，y0)处，相应的椭圆的参数方程为-4-x＝x0＋acosθ，y＝y0＋bsinθ(θ为参数)．通常规定参数θ的范围为[0,2π)．[例2][2018·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．【解析】(1)解：曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)解：将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－42cosα＋sinα1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.(1)参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式，在消参时要注意参变量的范围．(2)在参数方程应用不够熟练的情况下，可将其先化成直角坐标系下的普通方程，这样思路会更加清晰.『对接训练』2．[2018·天津卷]已知圆x2＋y2－2x＝0的圆心为C，直线x＝－1＋22t，y＝3－22t(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为________．-5-解析：将直线的参数方程化为普通方程，为y＝－x＋2.联立方程组y＝－x＋2，x2＋y2－2x＝0，可求得A，B两点的坐标分别为(1,1)，(2,0)．故|AB|＝2.又圆心C到直线AB的距离d＝22，故S△ABC＝12×2×22＝12.答案：12考点3极坐标方程与参数方程的综合[例3][2019·全国卷Ⅰ][选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．【解析】本题主要考查椭圆的参数方程与直线的极坐标方程、椭圆上的点到直线的距离最小值等知识，考查数形结合思想、化归与转化思想等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．(1)因为－11－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t21＋t22＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－παπ)．C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.-6-极坐标方程与参数方程的综合问题，一般采用分别化为普通方程的方法，利用平面解析几何的知识解决．当涉及线段长度时，也可以利用极径的几何意义和直线参数方程中参数的几何意义求解.『对接训练』3．[2019·河南新乡一模]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝－1－22t，y＝2＋22t(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ.(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，P(－1,2)，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)消去参数，得直线l的普通方程为x＋y－1＝0.由ρcos2θ＝sinθ，得ρ2cos2θ＝ρsinθ，则y＝x2，故曲线C的直角坐标方程为y＝x2.(2)将x＝－1－22t，y＝2＋22t代入y＝x2，得t2＋2t－2＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－2，易知直线l过点P(－1,2)，故|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.课时作业19坐标系与参数方程1．[2019·江苏卷]在极坐标系中，已知两点A3，π4，B2，π2，直线l的方程为-7-ρsinθ＋π4＝3.(1)求A，B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离．解析：本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．(1)设极点为O.在△OAB中，A3，π4，B2，π2，由余弦定理，得AB＝32＋22－2×3×2×cosπ2－π4＝5.(2)因为直线l的方程为ρsinθ＋π4＝3，则直线l过点32，π2，倾斜角为3π4.又B2，π2，所以点B到直线l的距离为(32－2)×sin3π4－π2＝2.2．[2019·湖北八校第一次联考]在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝t＋2cosα，y＝2sinα(α为参数，t为常数)．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ－3π4＝2.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与圆C有两个交点，求实数t的取值范围．解析：(1)消去参数，得圆C的普通方程为(x－t)2＋y2＝2.将直线l的极坐标方程化为－22ρcosθ＋22ρsinθ＝2，则－22x＋22y＝2，化简得y＝x＋2.故直线l的直角坐标方程为y＝x＋2.(2)∵圆C的普通方程为(x－t)2＋y2＝2，∴圆C的圆心为C(t,0)，半径为2，∴圆心C到直线l的距离d＝|t＋2|2，∵直线l与圆C有两个交点，∴d＝|t＋2|22，解得－4t0.∴实数t的取值范围为(－4,0)．-8-3．[2019·广东广州一模]已知曲线C的极坐标方程为ρ＝23cosθ＋2sinθ，直线l1：θ＝π6(ρ∈R)，直线l2：θ＝π3(ρ∈R)．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求直线l1，l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；(2)已知直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求△AOB的面积．解析：(1)依题意，得直线l1的直角坐标方程为y＝33x，直线l2的直角坐标方程为y＝3x，由ρ＝23cosθ＋2sinθ得ρ2＝23ρcosθ＋2ρsinθ，∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴曲线C的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4，∴曲线C的参数方程为x＝3＋2cosα，y＝1＋2sinα(α为参数)．(2)联立方程，得θ＝π6，ρ＝23cosθ＋2sinθ，得|OA|＝|ρ1|＝4，同理，得|OB|＝|ρ2|＝23.又∠AOB＝π6，∴S△AOB＝12|OA|·|OB|sin∠AOB＝12×4×23×12＝23，故△AOB的面积为23.4．[2019·广东佛山质检]在平面直角坐标系xOy中，曲线C：x＝1＋2cosφ，y＝3＋2sinφ(φ为参数)，直线l1：x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C与l1的极坐标方程；(2)当－π6α