（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题八 数学文化及数学思想 第2讲 函数与方程、数形结合思想学

-1-第2讲函数与方程、数形结合思想一、函数与方程思想函数思想方程思想函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决的思想函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系应用一函数与方程思想在不等式中的应用[典型例题]设不等式2x－1m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m都成立，则x的取值范围为________．【解析】问题可以变成关于m的不等式(x2－1)m－(2x－1)0在m∈[－2，2]上恒成立，设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则f(2)＝2(x2－1)－(2x－1)0，f(－2)＝－2(x2－1)－(2x－1)0，即2x2－2x－10，2x2＋2x－30，解得7－12x3＋12，故x的取值范围为(7－12，3＋12)．【答案】(7－12，3＋12)一般地，对于多变元问题，需要根据条件和要求解的结果，确定一个变量，创设新的函数，求解本题的关键是变换自变量，以参数m作为自变量构造函数式，不等式的问题就变成函数在闭区间上的值域问题．[对点训练]1．设0a1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea－1的大小关系为()-2-A．ea－1aaeB．aeaea－1C．aeea－1aD．aea－1ae解析：选B．设f(x)＝ex－x－1，x0，则f′(x)＝ex－10，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)0，所以ex－1x，即ea－1a.又y＝ax(0a1)在R上是减函数，得aae，从而ea－1aae.2．关于x的不等式x＋4x－1－a2＋2a0在x∈(2，＋∞)上恒成立，则a＝________．解析：关于x的不等式x＋4x－1－a2＋2a0在x∈(2，＋∞)上恒成立⇔函数f(x)＝x＋4x在x∈(2，＋∞)上的值域为(a2－2a＋1，＋∞)．因为函数f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上为增函数，所以f(x)2＋42＝4，即f(x)在(2，＋∞)上的值域为(4，＋∞)，所以a2－2a＋1＝4，解得a＝－1或a＝3.答案：－1或3应用二函数与方程思想在数列中的应用[典型例题]已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．【解】(1)因为a1＝2，a23＝a2(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式an＝2n.(2)因为Sn＝n(n＋1)，则1Sn＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1.所以bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n＝1n＋1－1n＋2＋1n＋2－1n＋3＋…＋12n－12n＋1-3-＝1n＋1－12n＋1＝n2n2＋3n＋1＝12n＋1n＋3.令f(x)＝2x＋1x(x≥1)，则f′(x)＝2－1x20恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝16，要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)max＝16，所以实数k的最小值为16.(1)本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消求bn，构造函数，利用单调性求bn的最大值．(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式，因此解决数列最值(范围)问题的方法如下：①由其表达式判断单调性，求出最值；②由表达式不易判断单调性时，借助an＋1－an的正负判断其单调性．[对点训练]1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－2，S5＝0，S6＝3，则nSn的最小值为________．解析：由已知得，a5＝S5－S4＝2，a6＝S6－S5＝3，因为数列{an}为等差数列，所以公差d＝a6－a5＝1.又S5＝5(a1＋a5)2＝0，所以a1＝－2，故Sn＝－2n＋n(n－1)2＝n2－5n2，即nSn＝n3－5n22，令f(n)＝n3－5n22(n0且n∈Z)，则f′(n)＝32n2－5n，令f′(n)0，得n103，令f′(n)0，得0n103，所以f(n)在0，103上单调递减，在103，＋∞上单调递增．又n为正整数，所以当n＝3时，f(n)取得最小值，即nSn取得最小值，即为－9.答案：－92．设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q0，a1＋a2＝4，a3－a2＝6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*，kan，Sn，－1都成等差数列，求实数k的值．解：(1)因为a1＋a2＝4，a3－a2＝6，所以a1(1＋q)＝4，a1(q2－q)＝6，因为q0，所以q＝3，a1＝1.-4-所以an＝1×3n－1＝3n－1，故数列{an}的通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)知an＝3n－1，Sn＝1×(1－3n)1－3＝3n－12，因为kan，Sn，－1成等差数列，所以2Sn＝kan－1，即2×3n－12＝k×3n－1－1，解得k＝3.应用三函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用[典型例题](1)若方程cos2x－sinx＋a＝0在x∈0，π2上有解，则a的取值范围是________．(2)已知a，b，c为平面上三个向量，又a，b是两个相互垂直的单位向量，向量c满足|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，x，y均为实数，则|c－xa－yb|的最小值为________．【解析】(1)法一：把方程cos2x－sinx＋a＝0变形为a＝－cos2x＋sinx，设f(x)＝－cos2x＋sinx，x∈0，π2，f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx＝sinx＋122－54，由x∈0，π2可得sinx∈(]0，1，易求得f(x)的值域为(－1，1]，故a的取值范围是(－1，1]．法二：令t＝sinx，由x∈0，π2，可得t∈(0，1]．依题意得1－t2－t＋a＝0，即方程t2＋t－1－a＝0在t∈(0，1]上有解，设f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线t＝－12，如图所示．因此，f(t)＝0在(0，1]上有解等价于f(0)0，f(1)≥0，即－1－a0，1－a≥0，所以－1a≤1，故a的取值范围是(－1，1]．(2)由题意可知|a|＝|b|＝1，a·b＝0，因为|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，所以|c－xa－yb|2＝|c|2＋x2|a|2＋y2|b|2－2xc·a－2yc·b＋2xya·b＝9＋x2＋y2－4x－2y＝(x－2)2＋(y－1)2＋4，当且仅当x＝2，y＝1时，|c－xa－yb|2min＝4，-5-所以|c－xa－yb|的最小值为2.【答案】(1)(－1，1](2)2(1)研究含参数的三角函数方程的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域．二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．(2)平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想进行分析与处理，这是解决此类问题的一种比较常见的思维方式．[对点训练]1．已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2，1)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为()A．－1B．2C．1D．－2解析：选A．法一：由|a＋b|＝|a－b|，可得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，故a·b＝(λ，1)·(λ＋2，1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.法二：a＋b＝(2λ＋2，2)，a－b＝(－2，0)．由|a＋b|＝|a－b|，可得(2λ＋2)2＋4＝4，解得λ＝－1.2．在△ABC中，D为BC边上一点，DC＝2BD，AD＝2，∠ADC＝45°，若AC＝2AB，则BD＝________．解析：在△ADC中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos45°＝2＋DC2－22·DC·22＝2＋DC2－2DC.在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos135°＝BD2＋2＋22·BD·22＝2＋BD2＋2BD.又因为DC＝2BD，AC＝2AB，所以2·(2＋BD2＋2BD)＝2＋(2BD)2－2·2BD，整理得BD2－4BD－1＝0，解得BD＝2＋5(BD＝2－5舍去)．答案：2＋5应用四函数与方程思想在解析几何中的应用[典型例题]已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)经过点1，32，离心率为12.(1)求椭圆E的方程；-6-(2)设点A，F分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F作直线交椭圆E于C，D两点，求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点)．【解】(1)由题设得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a＝2，b＝3，c＝1.所以椭圆E的方程为x24＋y23＝1.(2)设直线CD的方程为x＝ky＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，与椭圆方程x24＋y23＝1联立得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0.所以y1＋y2＝－6k3k2＋4，y1y2＝－93k2＋4.所以S四边形OCAD＝S△OCA＋S△ODA＝12×2×|y1|＋12×2×|y2|＝|y1－y2|＝(y1＋y2)2－4y1y2＝12k2＋13k2＋4＝12t3t2＋1＝123t＋1t(其中t＝k2＋1，t≥1)．因为当t≥1时，y＝3t＋1t单调递增，所以3t＋1t≥4，所以S四边形OCAD≤3(当k＝0时取等号)，即四边形OCAD面积的最大值为3.几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法．[对点训练]设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若ED→＝6DF→，求k的值．解：依题意得椭圆的方程为x24＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k0)．如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2-7-＝4，故x2＝－x1＝21＋4k2.由ED→＝6DF→知x0－x1＝6(x2－x0)，得x0＝17(6x2＋x1)＝57x2＝1071＋4k2.由D在AB上知x0＋2kx0＝2，得x0＝21＋2k.所以21＋2k＝1071＋4k2，化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝23或k＝38.二、数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合应用一数形结合思想在函数与方程中