（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题二 数列 第2讲 数列通项与求和学案 理 新人教A版

-1-第2讲数列通项与求和[做真题]题型一an与Sn关系的应用1．(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．解析：法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32；所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.法二：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝－1×(1－26)1－2＝－63.答案：－632．(2015·高考全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．解析：因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.因为Sn≠0，所以1Sn－1Sn＋1＝1，即1Sn＋1－1Sn＝－1.又1S1＝－1，所以{1Sn}是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－1n.答案：－1n题型二数列求和1．(2017·高考全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则k＝1n1Sk＝__________．-2-解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意，a1＋2d＝3，4a1＋6d＝10，即a1＋2d＝3，2a1＋3d＝5，解得a1＝1，d＝1，所以Sn＝n(n＋1)2，因此k＝1n1Sk＝21－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝2nn＋1.答案：2nn＋12．(2018·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．解：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.3．(2016·高考全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和．解：(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.(2)因为bn＝0，1≤n＜10，1，10≤n＜100，2，100≤n＜1000，3，n＝1000，所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.[明考情]1．已知数列递推关系求通项公式，主要考查利用an与Sn的关系求通项公式、累加法、累乘法及构造法求通项公式，主要以选择题、填空题的形式考查，有时作为解答题的第(1)问考查，难度中等．2．数列求和常与数列综合应用一起考查，常以解答题的形式考查，有时与函数不等式综合在一起考查，难度中等偏上．-3-Sn，an关系的应用[典型例题](1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2019＝()A．－22019－1B．32019－6C．122019－72D．132019－103(2)(2019·东北四市联合体模拟(一))已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n＋1)ann＋2an(n∈N*)，则k＝1nkak＝________．(3)(一题多解)(2019·武汉市调研测试)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，则a4＝________．【解析】(1)因为a1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a1－3⇒a1＝－3.当n≥2时，3Sn＝2an－3n，3Sn－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1)，所以数列{an＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列．所以an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n，则a2019＝－22019－1.(2)由题意可知nan＋1＋2anan＋1＝(n＋1)an，两边同除以anan＋1，得n＋1an＋1－nan＝2，又1a1＝12，所以nan是以12为首项，2为公差的等差数列，所以k＝1nkak＝12n＋12n(n－1)×2＝n2－12n.(3)法一：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)可得S2＝3S1＋1＝3a1＋1，即a2＝2a1＋1＝－1.根据Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)①，知Sn＋1＝3Sn＋2n＋1－3②，②－①可得，an＋1＝3an＋2n(n≥2)．两边同时除以2n＋1可得an＋12n＋1＝32·an2n＋12(n≥2)，令bn＝an2n，可得bn＋1＝32·bn＋12(n≥2)．所以bn＋1＋1＝32(bn＋1)(n≥2)，数列{bn＋1}是以b2＋1＝34为首项，32为公比的等比数列．所以bn＋1＝32n－2·34(n≥2)，所以bn＝12·32n－1－1(n≥2)．*-4-又b1＝－12也满足*式，所以bn＝32n－1·12－1(n∈N*)，又bn＝an2n，所以an＝2nbn，即an＝3n－1－2n.所以a4＝33－24＝11.法二：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，知S2＝3S1＋4－3，所以a2＝－1.S3＝3S2＋8－3，所以a3＝1.S4＝3S3＋16－3，所以a4＝11.【答案】(1)A(2)n2－12n(3)11(1)给出Sn与an的递推关系求an的常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.(2)形如an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的等比数列．[对点训练]1．(2019·武昌区调研考试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝()A．40B．44C．45D．49解析：选B．法一：因为Sn＝n2－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－1－(n－1)2＋1＝2n－1，又a1＝S1＝0，所以an＝0，n＝12n－1，n≥2，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝0＋5＋9＋13＋17＝44.故选B．法二：因为Sn＝n2－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－1－(n－1)2＋1＝2n－1，又a1＝S1＝0，所以an＝0，n＝12n－1，n≥2，所以{an}从第二项起是等差数列，a2＝3，公差d＝2，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝0＋4a6＝4×(2×6－1)＝44，故选B．2．(2019·福州市质量检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn＝λan－1(λ为常数)，若数列{bn}满足anbn＝－n2＋9n－20，且bn＋1bn，则满足条件的n的取值集合为________．解析：因为a1＝1，且Sn＝λan－1(λ为常数)，所以a1＝λ－1＝1，解得λ＝2，所以Sn＝2an－1，所以Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，所以an＝2an－1，所以an＝2n－1.因为anbn＝－n2＋9n－20，所以bn＝－n2＋9n－202n－1，-5-所以bn＋1－bn＝n2－11n＋282n＝(n－4)(n－7)2n0，解得4n7，又因为n∈N*，所以n＝5或n＝6.即满足条件的n的取值集合为{5，6}．答案：{5，6}数列求和问题[典型例题]命题角度一公式法求和已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an2an＋3，n∈N*.(1)求证：数列1an为等差数列；(2)设T2n＝1a1a2－1a2a3＋1a3a4－1a4a5＋…＋1a2n－1a2n－1a2na2n＋1，求T2n.【解】(1)证明：由an＋1＝3an2an＋3，得1an＋1＝2an＋33an＝1an＋23，所以1an＋1－1an＝23.又a1＝1，则1a1＝1，所以数列1an是首项为1，公差为23的等差数列．(2)设bn＝1a2n－1a2n－1a2na2n＋1＝1a2n－1－1a2n＋11a2n，由(1)得，数列1an是公差为23的等差数列，所以1a2n－1－1a2n＋1＝－43，即bn＝1a2n－1－1a2n＋11a2n＝－43×1a2n，所以bn＋1－bn＝－431a2n＋2－1a2n＝－43×43＝－169.又b1＝－43×1a2＝－43×1a1＋23＝－209，所以数列{bn}是首项为－209，公差为－169的等差数列，所以T2n＝b1＋b2＋…＋bn＝－209n＋n(n－1)2×－169＝－49(2n2＋3n)．求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判-6-断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n项和公式来求解，需掌握等差数列{an}的前n项和公式：Sn＝n(a1＋an)2或Sn＝na1＋n(n－1)2d；等比数列{an}的前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1(1－qn)1－q，q≠1；第三关，运算关，认真运算，此类题将迎刃而解．命题角度二裂项相消法求和(2019·广东省七校联考)已知数列{an}为公差不为0的等差数列，a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an(n∈N*)，且b1＝3，求数列{1bn}的前n项和Tn.【解】(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，依题意得(a1＋d)(a1＋29d)＝(a1＋8d)2.又a1＝5，所以d＝2，所以an＝2n＋3.(2)依题意得bn＋1－bn＝2n＋3(n∈N*)，所以bn－bn－1＝2n＋1(n≥2且n∈N*)，所以bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋5＋3＝n(2n＋1＋3)2＝n2＋2n(n≥2且n∈N*)，b1＝3，上式也成立，所以bn＝n(n＋2)(n∈N*)，所以1bn＝1n(n＋2)＝121n－1n＋2.所以Tn＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2＝1232－1n＋1－1n＋2.(1)裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．[提醒]常见的裂项式有：1(2n－1)(2n＋1)＝1212n－1－12n＋1，1n(n＋1)(n＋2)＝12[1n(n＋1)－1(n＋1)(n＋2)]，1n＋1＋n＝n＋1－n等．命题角度三错位相减法求和(2019·唐山模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝3an－12.(1)求an；(2)若bn＝(n－1)an，且数列{bn}的前n项和为Tn，求T