（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数与方程学案 理

-1-第2讲基本初等函数、函数与方程[做真题]题型一指数与指数函数1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．abcB．acbC．cabD．bca解析：选B．因为a＝log20.20，b＝20.21，c＝0.20.3∈(0，1)，所以acb.故选B．2．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则()A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b解析：选A．因为a＝243＝1613，b＝425＝1615，c＝2513，且幂函数y＝x13在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c.3．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________．解析：法一：由x0可得－x0，由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，所以x0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，则f(ln2)＝e－aln2＝8，所以－aln2＝ln8＝3ln2，所以a＝－3.法二：由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，所以f(ln2)＝－fln12＝－(－ealn12)＝8，所以aln12＝ln8＝3ln2，所以a＝－3.答案：－3题型二对数与对数函数(一题多解)(2016·高考全国卷Ⅰ)若a＞b＞1，0＜c＜1，则()A．ac＜bcB．abc＜bacC．alogbc＜blogacD．logac＜logbc解析：选C．法一：由ab1，0c1，知acbc，A错；因为0c1，所以－1c－10，所以y＝xc－1在x∈(0，＋∞)上是减函数，-2-所以bc－1ac－1，又ab0，所以ab·bc－1ab·ac－1，即abcbac，B错；易知y＝logcx是减函数，所以0logcblogca，D错；由logbclogac0，得－logbc－logac0，又ab10，所以－alogbc－blogac0，所以alogbcblogac，故C正确．法二：依题意，不妨取a＝4，b＝2，c＝12.易验证A、B、D均是错误的，只有C正确．题型三函数的零点问题1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A．－12B．13C．12D．1解析：选C．由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图象的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝12.故选C．2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1，0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：选C．函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C．3．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为________．-3-解析：由题意知，cos3x＋π6＝0，所以3x＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，所以x＝π9＋kπ3，k∈Z，当k＝0时，x＝π9；当k＝1时，x＝4π9；当k＝2时，x＝7π9，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.答案：3[明考情]1．基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～11题的位置，有时难度较大．2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．基本初等函数的图象与性质[典型例题](1)(2019·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝x12B．y＝2－xC．y＝log12xD．y＝1x(2)(2019·高考天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为()A．cbaB．abcC．bcaD．cab(3)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝logax＋12(a0，且a≠1)的图象可能是()【解析】(1)对于幂函数y＝xα，当α0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，当α0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，所以选项A正确；选项D中的函数y＝1x可转化为y＝x－1，所以函数y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，故选项D不符合题意；对于指数函数y＝ax(a0，且-4-a≠1)，当0a1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上单调递减，当a1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上单调递增，而选项B中的函数y＝2－x可转化为y＝12x，因此函数y＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，故选项B不符合题意；对于对数函数y＝logax(a0，且a≠1)，当0a1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，当a1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，因此选项C中的函数y＝log12x在(0，＋∞)上单调递减，故选项C不符合题意，故选A．(2)因为a＝log27log24＝2，b＝log38log39＝2，b＝log381，c＝0.30.21，所以cba.故选A．(3)通解：若0a1，则函数y＝1ax是增函数，y＝logax＋12是减函数且其图象过点12，0，结合选项可知，选项D可能成立；若a1，则y＝1ax是减函数，而y＝logax＋12是增函数且其图象过点12，0，结合选项可知，没有符合的图象．故选D．优解：分别取a＝12和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D．【答案】(1)A(2)A(3)D基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a1和0a1两种情况讨论：当a1时，两函数在定义域内都为增函数；当0a1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α0和α0两种情况的不同．[对点训练]1．(一题多解)若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，函数f(x)＝12－x，则f(2)＋g(4)＝()A．3B．4C．5D．6-5-解析：选D．法一：因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，又f(x)＝12－x＝2x，所以g(x)＝log2x，所以f(2)＋g(4)＝22＋log24＝6.法二：因为f(x)＝12－x.所以f(2)＝4，即函数f(x)的图象经过点(2，4)，因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，所以函数g(x)的图象经过点(4，2)，所以f(2)＋g(4)＝4＋2＝6.2．(2019·福建五校第二次联考)已知a＝log372，b＝1413，c＝log1315，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．bcaD．cab解析：选D．a＝log372，c＝log1315＝log35，由对数函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，可得log35log372log33，所以ca1.借助指数函数y＝14x的图象易知b＝1413∈(0，1)，故cab，选D．3．(2019·开封模拟)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln(x1＋1)，e－x2＝lgx2，e－x3＝lnx3，则()A．x3x2x1B．x2x1x3C．x3x1x2D．x1x3x2解析：选D．根据题意可知，实数x1，x2，x3分别是函数y＝e－x与y＝ln(x＋1)、y＝lgx、y＝lnx图象交点的横坐标．在同一直角坐标系中作出函数y＝e－x、y＝ln(x＋1)、y＝lgx、y＝lnx的图象如图所示，由图知，x1x3x2，故选D．函数与方程[典型例题]命题角度一确定函数零点的个数或其存在情况(1)已知实数a1，0b1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是()-6-A．(－2，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，2)(2)设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cosπx|－f(x)在区间－12，32上零点的个数为()A．3B．4C．5D．6【解析】(1)因为a1，0b1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(－1)＝1a－1－b0，f(0)＝1－b0，所以f(－1)·f(0)0，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．(2)由f(－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称．由f(x)＝f(2－x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，所以f(x)在[－1，2]上的图象如图．令g(x)＝|cosπx|－f(x)＝0，得|cosπx|＝f(x)，两函数y＝f(x)与y＝|cosπx|的图象在－12，32上的交点有5个．【答案】(1)B(2)C判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．命题角度二已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围(1)(2019·合肥市第二次质量检测)设函数f(x)＝|lnx|，x0，ex(x＋1)，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是()A．(1，＋∞)B．－1e2，0C．{0}∪(1，＋∞)D．(0，1]-7-(2)(2019·济阳模拟)若关于x的方程ex＋ax－a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是()A．(－e2，0]B．[0，e2)C．(－e，0]D．[0，e)【解析】(1)当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)0，得函数f(x)的单调递增区间为(－2，0]，由f′(x)0，得函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x－1时，f(x)0，f(0)＝1.由以上分析，可作出分段函数f(x)的图象，如图所示．要使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则方程f(x)－b＝0，即f(x)＝b有三个不同的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b的取值范围是(0，1]，故选D．(2)由题意可知只需证ex＋ax－a0恒成立，即证ex－a(x－1)．当x1时，－aexx－1，令f(x)＝exx－1，则f′(x)＝ex(x－2)(x－1)20，则f(x)单调递减，即有f(x)0，解得－a≥0，即a≤0；当x＝1时，e0成立，a可以是任意实数；当x1时