（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第3讲 导数的简单应用学案 理 新人教A版

-1-第3讲导数的简单应用[做真题]题型一导数的几何意义1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解析：选D．法一：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D．法二：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1解析：选D．因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以ae＋1＝2，b＝－1，解得a＝e－1，b＝－1.3．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．解析：因为y＝2ln(x＋1)，所以y′＝2x＋1.当x＝0时，y′＝2，所以曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.答案：y＝2x4．(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．解析：设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线分别为y－lnx1－2＝1x1(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝1x2＋1(x－x2)，-2-化简得y＝1x1x＋lnx1＋1，y＝1x2＋1x－x2x2＋1＋ln(x2＋1)，依题意，1x1＝1x2＋1，lnx1＋1＝－x2x2＋1＋ln(x2＋1)，解得x1＝12，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.答案：1－ln2题型二导数与函数的单调性、极值与最值1．(2017·高考全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1解析：选A．因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)0，解得x－2或x1，令f′(x)0，解得－2x1，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值＝f(1)＝－1，选择A．2．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．解析：法一：因为f(x)＝2sinx＋sin2x，所以f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2＝4cosx－12(cosx＋1)，由f′(x)≥0得12≤cosx≤1，即2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z，由f′(x)≤0得－1≤cosx≤12，即2kπ＋π≥x≥2kπ＋π3或2kπ－π≤x≤2kπ－π3，k∈Z，所以当x＝2kπ－π3(k∈Z)时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝f2kπ－π3＝2sin2kπ－π3＋sin22kπ－π3＝－332.法二：因为f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)＝4sinx2cosx2·2cos2x2-3-＝8sinx2cos3x2＝833sin2x2cos6x2，所以[f(x)]2＝643×3sin2x2cos6x2≤643·3sin2x2＋cos2x2＋cos2x2＋cos2x244＝274，当且仅当3sin2x2＝cos2x2，即sin2x2＝14时取等号，所以0≤[f(x)]2≤274，所以－332≤f(x)≤332，所以f(x)的最小值为－332.答案：－332[明考情]1．此部分内容是高考命题的热点内容，在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小．2．应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．有时也常在解答题的第一问中考查，难度一般．导数的几何意义[典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0(2)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为________．(3)(2019·广州市调研测试)若过点A(a，0)作曲线C：y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)依题意得y′＝2cosx－sinx，y′|x＝π＝(2cosx－sinx)|x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C．(2)f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，所以P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故点P的坐标为(1，3)-4-或(－1，3)．(3)设切点坐标为(x0，x0ex0)，y′＝(x＋1)ex，y′|x＝x0＝(x0＋1)ex0，所以切线方程为y－x0ex0＝(x0＋1)ex0(x－x0)，将点A(a，0)代入可得－x0ex0＝(x0＋1)ex0(a－x0)，化简，得x20－ax0－a＝0，过点A(a，0)作曲线C的切线有且仅有两条，即方程x20－ax0－a＝0有两个解，则有Δ＝a2＋4a0，解得a0或a－4，故实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．【答案】(1)C(2)(1，3)或(－1，3)(3)(－∞，－4)∪(0，＋∞)(1)求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法类型方法已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程已知切线的斜率k，求切线方程设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程(2)由曲线的切线求参数值或范围的2种类型及解题关键类型解题关键已知曲线在某点处的切线求参数关键是用“方程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值已知曲线的切线方程，求含有双参数的代数式的取值范围关键是过好“双关”；一是转化关，即把所求的含双参数的代数式转化为含单参数的代数式，此时需利用已知切线方程，寻找双参数的关系式；二是求最值关，常利用函数的单调性、基本不等式等方法求最值，从而得所求代数式的取值范围[对点训练]1．(2019·武汉调研)设曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲线C上一点M(1，－4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C．y′＝12x3－6x2－18x，所以切线l的斜率k＝y′|x＝1＝－12，所以切线l的方程为12x＋y－8＝0.联立方程得12x＋y－8＝0y＝3x4－2x3－9x2＋4，消去y，得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0，所以(x＋-5-2)(3x－2)(x－1)2＝0，所以x1＝－2，x2＝23，x3＝1，所以切线l与曲线C有3个公共点．故选C．2．(2019·成都第二次诊断性检测)已知直线l既是曲线C1：y＝ex的切线，又是曲线C2：y＝14e2x2的切线，则直线l在x轴上的截距为()A．2B．1C．e2D．－e2解析：选B．设直线l与曲线C1：y＝ex的切点为A(x1，ex1)，与曲线C2：y＝14e2x2的切点为Bx2，14e2x22.由y＝ex，得y′＝ex，所以曲线C1在点A处的切线方程为y－ex1＝ex1(x－x1)，即y＝ex1x－ex1(x1－1)①.由y＝14e2x2，得y′＝12e2x，所以曲线C2在点B处的切线方程为y－14e2x22＝12e2x2(x－x2)，即y＝12e2x2x－14e2x22②.因为①②表示的切线为同一直线，所以ex1＝12e2x2，ex1(x1－1)＝14e2x22，解得x1＝2，x2＝2，所以直线l的方程为y＝e2x－e2，令y＝0，可得直线l在x上的截距为1，故选B．3．(2019·广州市综合检测(一))若函数f(x)＝ax－3x的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，4)，则a＝________．解析：f′(x)＝a＋3x2，f′(1)＝a＋3，f(1)＝a－3，故f(x)的图象在点(1，a－3)处的切线方程为y－(a－3)＝(a＋3)(x－1)，又切线过点(2，4)，所以4－(a－3)＝a＋3，解得a＝2.答案：2利用导数研究函数的单调性[典型例题]命题角度一求函数的单调区间或判断函数的单调性已知函数f(x)＝ln(x＋1)－ax2＋x(x＋1)2，且1a2，试讨论函数f(x)的单调性．-6-【解】函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝x(x－2a＋3)(x＋1)3，x－1.①当－12a－30，即1a32时，当－1x2a－3或x0时，f′(x)0，f(x)单调递增，当2a－3x0时，f′(x)0，f(x)单调递减．②当2a－3＝0，即a＝32时，f′(x)≥0，则f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a－30，即32a2时，当－1x0或x2a－3时，f′(x)0，则f(x)在(－1，0)，(2a－3，＋∞)上单调递增．当0x2a－3时，f′(x)0，则f(x)在(0，2a－3)上单调递减．综上，当1a32时，f(x)在(－1，2a－3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a－3，0)上单调递减；当a＝32时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；当32a2时，f(x)在(－1，0)，(2a－3，＋∞)上单调递增，在(0，2a－3)上单调递减．利用导数求函数的单调区间的三种方法(1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时求导数并化简，根据f′(x)的结