（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第1讲 直线与圆学案 理 新人教A版

-1-第1讲直线与圆[做真题]题型一圆的方程1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C．3D．2解析：选A．由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，则m2＋4＝r2，(4－m)2＝r2，解得m＝32，r2＝254.所以圆的标准方程为(x－32)2＋y2＝254.答案：(x－32)2＋y2＝2543．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝k(x－1)，y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝2k2＋4k2.-2-所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2.由题设知4k2＋4k2＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0＝－x0＋5，(x0＋1)2＝(y0－x0＋1)22＋16，解得x0＝3，y0＝2或x0＝11，y0＝－6.因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.题型二直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6]B．[4，8]C．[2，32]D．[22，32]解析：选A．圆心(2，0)到直线的距离d＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P到直线的距离d1∈[2，32]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝22，所以△ABP的面积S＝12|AB|d1＝2d1.因为d1∈[2，32]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．26B．8C．46D．10解析：选C．设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则D＋3E＋F＋10＝0，4D＋2E＋F＋20＝0，D－7E＋F＋50＝0.解得D＝－2，E＝4，F＝－20.所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋26或y＝－2－26，-3-所以M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)，所以|MN|＝46，故选C．3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________．解析：设圆心到直线l：mx＋y＋3m－3＝0的距离为d，则弦长|AB|＝212－d2＝23，得d＝3，即||3m－3m2＋1＝3，解得m＝－33，则直线l：x－3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝|AB|cos30°＝4.答案：4[明考情]1．近两年圆的方程成为高考全国卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．直线的方程[考法全练]1．若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝()A．1±2或0B．2－52或0C．2±52D．2＋52或0解析：选A．因为平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，所以kAB＝kAC，即a2＋a2－1＝a3＋a3－1，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±2.故选A．2．若直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，则m的值为()A．7B．0或7C．0D．4解析：选B．因为直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，所以m(m－1)＝3m×2，所以m＝0或7，经检验，都符合题意．故选B．3．已知点A(1，2)，B(2，11)，若直线y＝m－6mx＋1(m≠0)与线段AB相交，则实数m-4-的取值范围是()A．[－2，0)∪[3，＋∞)B．(－∞，－1]∪(0，6]C．[－2，－1]∪[3，6]D．[－2，0)∪(0，6]解析：选C．由题意得，两点A(1，2)，B(2，11)分布在直线y＝m－6mx＋1(m≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以m－6m－2＋12m－6m－11＋1≤0，解得－2≤m≤－1或3≤m≤6，故选C．4．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为__________________．解析：由x－2y＋3＝0，2x＋3y－8＝0，得x＝1，y＝2，所以直线l1与l2的交点为(1，2)．显然直线x＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P(0，4)到直线l的距离为2，所以|－4＋2－k|1＋k2＝2，所以k＝0或k＝43.所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.答案：y＝2或4x－3y＋2＝05．(一题多解)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于直线l对称，则直线l2的方程是________．解析：法一：l1与l2关于l对称，则l1上任意一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1，0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上的一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则x2－y－22－1＝0，y＋2x×1＝－1，解得x＝－1，y＝－1.即(1，0)，(－1，－1)为l2上两点，故可得l2的方程为x－2y－1＝0.法二：设l2上任一点为(x，y)，其关于l的对称点为(x1，y1)，则由对称性可知x＋x12－y＋y12－1＝0，y－y1x－x1×1＝－1，解得x1＝y＋1，y1＝x－1.因为(x1，y1)在l1上，所以2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即l2的方程为x－2y－1＝0.-5-答案：x－2y－1＝0(1)两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．(2)轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组A·x1＋x22＋B·y1＋y22＋C＝0.y2－y1x2－x1·－AB＝－1，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决圆的方程[典型例题]在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．【解】由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1，0)，B(x2，0)，则可得Δ＝m2－8m0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则AC→·BC→＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－12.由Δ0得m0或m8，所以m＝－12，此时C(0，－1)，AB的中点M－14，0即圆心，半径r＝|CM|＝174，-6-故所求圆的方程为x＋142＋y2＝1716.(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.令x2＋y2－y＝0，x＋2y－2＝0，可得x＝0，y＝1或x＝25，y＝45，故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和25，45.求圆的方程的2种方法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程[对点训练]1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)B．－23，0C．(－2，0)D．－2，23解析：选D．若方程表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)0，化简得3a2＋4a－40，解得－2a23.2．经过原点且与直线x＋y－2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2C．(x－1)2＋(y＋1)2＝4D．(x＋1)2＋(y－1)2＝4解析：选A．设圆心的坐标为(a，b)，则a2＋b2＝r2①，(a－2)2＋b2＝r2②，ba－2＝1③，联立①②③解得a＝1，b＝－1，r2＝2.故所求圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选A．3．(2019·安徽合肥模拟)已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB为圆M的任意一条直径，且OA→·OB→＝－6(其中O为坐标原点)，则圆M的半径为()A．5B．6-7-C．7D．22解析：选C．圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝1－a(a1)，圆心M(1，0)，则|OM|＝1，因为AB为圆M的任意一条直径，所以MA→＝－MB→，且|MA→|＝|MB→|＝r，则OA→·OB→＝(OM→＋MA→)·(OM→＋MB→)＝(OM→－MB→)·(OM→＋MB→)＝OM→2－MB→2＝1－r2＝－6，所以r2＝7，得r＝7，所以圆的半径为7，故选C．直线与圆、圆与圆的综合问题[典型例题]命题角度一切线问题已知圆O：x2＋y2＝1，点P为直线x4＋y2＝1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点()A．12，14B．14，12C．34，0D．0，34【解析】因为点P是直线x4＋y2＝1上的一动点，所以设P(4－2m，m)．因为PA，PB是圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，所以点A