（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题一 三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质学案

-1-第1讲三角函数的图象与性质[做真题]题型一三角函数图象及其变换1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2解析：选D．易知C1：y＝cosx＝sinx＋π2，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y＝sin2x＋π12＋π2＝sin2x＋2π3的图象，即曲线C2，故选D．2．(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y＝sinx－3cosx的图象可由函数y＝sinx＋3cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到．解析：函数y＝sinx－3cosx＝2sinx－π3的图象可由函数y＝sinx＋3cosx＝2sinx＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．答案：2π3题型二三角函数的性质1．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()-2-A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|解析：选A．A中，函数f(x)＝|cos2x|的周期为π2，当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin2x|的周期为π2，当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cosx的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝sinx，x≥0，－sinx，x0，由正弦函数图象知，在x≥0和x0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A．2．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A．①②④B．②④C．①④D．①③解析：选C．通解：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确；当π2xπ时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，所以f(x)在π2，π单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；因为y＝sin|x|与y＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，所以f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C．优解：因为f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确，排除B；当π2xπ时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，所以f(x)在π2，π单调递减，故②不正确，排除A；因为y＝sin|x|与y＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，所以f(x)的最大值为2，故④正确．故选C．3．(2018·高考全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()-3-A．π4B．π2C．3π4D．π解析：选A．法一：f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋π4，且函数y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋π4≤π，得－π4≤x≤3π4.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以－a≥－π4，a≤3π4，解得a≤π4，所以0a≤π4，所以a的最大值是π4，故选A．法二：因为f(x)＝cosx－sinx，所以f′(x)＝－sinx－cosx，则由题意，知f′(x)＝－sinx－cosx≤0在[－a，a]上恒成立，即sinx＋cosx≥0，即2sinx＋π4≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝2sinx＋π4的图象可知有－a＋π4≥0，a＋π4≤π，解得a≤π4，所以0a≤π4，所以a的最大值是π4，故选A．4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos(x＋π3)，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π6D．f(x)在(π2，π)单调递减解析：选D．根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝8π3时，x＋π3＝3π，所以cosx＋π3＝－1，所以B正确；f(x＋π)＝cosx＋π＋π3＝cosx＋4π3，当x＝π6时，x＋4π3＝3π2，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；函数f(x)＝cosx＋π3在π2，23π上单调递减，在23π，π上单调递增，故D不正确．所以选D．-4-5．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，||φ≤π2，x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在π18，5π36单调，则ω的最大值为()A．11B．9C．7D．5解析：选B．因为x＝－π4为函数f(x)的零点，x＝π4为y＝f(x)图象的对称轴，所以π2＝kT2＋T4(k∈Z，T为周期)，得T＝2π2k＋1(k∈Z)．又f(x)在π18，5π36单调，所以T≥π6，k≤112，又当k＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f(x)在π18，5π36不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝π4，f(x)在π18，5π36单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.6．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．解析：依题意，f(x)＝sin2x＋3cosx－34＝－cos2x＋3cosx＋14＝－cosx－322＋1，因为x∈0，π2，所以cosx∈[0，1]，因此当cosx＝32时，f(x)max＝1.答案：1[明考情]高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12题或第14、15题位置上，命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．三角函数的定义、诱导公式及基本关系[考法全练]1．角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点P(4，y)，且sinθ＝－35，则tanθ＝()A．－43B．43-5-C．－34D．34解析：选C．因为角θ的终边经过点P(4，y)，sinθ＝－350，所以角θ为第四象限角，所以cosθ＝1－sin2θ＝45，所以tanθ＝sinθcosθ＝－34，故选C．2．若sinπ2＋α＝－35，且α∈π2，π，则tan(π－α)＝()A．43B．23C．－23D．－43解析：选A．由sinπ2＋α＝cosα＝－35，且α∈π2，π，得sinα＝1－cos2α＝45，所以tan(π－α)＝－tanα＝－sinαcosα＝－45－35＝43.3．已知α是第三象限的角，且tanα＝2，则sinα＋π4＝()A．－1010B．1010C．－31010D．31010解析：选C．因为α是第三象限的角，tanα＝2，则sinαcosα＝tanα，sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝－11＋tan2α＝－55，sinα＝－255，则sinα＋π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝－255×22－55×22＝－31010，故选C．4．已知θ∈π2，π，则1－2sin(π＋θ)sin3π2－θ＝____________．解析：因为1－2sin(π＋θ)sin3π2－θ＝1－2sinθcosθ＝(sinθ－cosθ)2＝|sinθ－cosθ|，又θ∈π2，π，所以原式＝sinθ－cosθ.-6-答案：sinθ－cosθ5．若tanα＝cosα，则1sinα＋cos4α＝____________．解析：tanα＝cosα⇒sinαcosα＝cosα⇒sinα＝cos2α，故1sinα＋cos4α＝sin2α＋cos2αsinα＋cos4α＝sinα＋cos2αsinα＋cos4α＝sinα＋sinαsinα＋sin2α＝sin2α＋sinα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.答案：2(1)三角函数的定义若角α的终边过点P(x，y)，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(其中r＝x2＋y2)．(2)利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．[注意]“奇变偶不变，符号看象限”．(3)基本关系sin2x＋cos2x＝1，tanx＝sinxcosx.[技能]利用同角三角函数的基本关系求函数值时，要注意确定符号．三角函数的图象与解析式[典型例题]命题角度一由“图”定“式”(一题多解)(2019·成都市第二次诊断性检测)将函数f(x)的图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()-7-A．f(x)＝sinx＋5π12B．f(x)＝－cos2x＋π3C．f(x)＝cos2x＋π3D．f(x)＝sin2x＋7π12【解析】法一：根据函数g(x)的图象可知A＝1，12T＝π3＋π6＝π2，T＝π＝2πω，ω＝2，所以g(x)＝sin(2x＋φ)，所以gπ3＝sin2π3＋φ＝0，所以2π3＋φ＝π＋kπ，k∈Z，φ＝π3＋kπ，k∈Z，又因为|φ|π2，所以φ＝π3，所以g(x)＝sin2x＋π3，将g(x)＝sin2x＋π3的图象向左平移π4个单位长度后，即可得到函数f(x)的图象，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝gx＋π4＝sin2x＋π4＋π3＝sinπ2＋2x＋π3＝cos2x＋π3.法二：根据g(x)的图象可知gπ3－π62＝gπ12＝1，因为f(x)的图象向右平移π4个单位长度后，即可得到g(x)的图象，所以fπ12－π4＝f－π6＝1，对于A，f－π6＝sinπ4≠1，不符合题意；对于B，f－π6＝－cos0＝－1≠1，不符合题意；对于C，f－π6＝cos0＝1，符合题意；对于D，f－π6＝sinπ4≠1，不符合题意．【答案】C由“图”定“式”找“对应”由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之