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-1-回顾2函数与导数[必记知识]函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)成立，则f(x)为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．指数与对数式的运算公式am·an＝am＋n；(am)n＝amn；(ab)m＝ambm(a，b0)．loga(MN)＝logaM＋logaN；logaMN＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM；alogaN＝N；logaN＝logbNlogba(a0且a≠1，b0且b≠1，M0，N0)．指数函数与对数函数的对比区分表解析式y＝ax(a0且a≠1)y＝logax(a0且a≠1)图象定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R单调性0a1时，在R上是减函数；a1时，在R上是增函数0a1时，在(0，＋∞)上是减函数；a1时，在(0，＋∞)上是增函数方程的根与函数的零点(1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2)函数零点的存在性如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数根．-2-导数公式及运算法则(1)基本导数公式c′＝0(c为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ax)′＝axlna(a0且a≠1)；(ex)′＝ex；(logax)′＝1xlna(a0且a≠1)；(lnx)′＝1x.(2)导数的四则运算(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；uv′＝u′v－uv′v2(v≠0)．导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”.[必会结论]函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)则为增(减)函数．(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．(3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数f(x)＝0.(6)f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)为奇函数；f(x)－f(－x)＝0⇔f(x)为偶函数．函数的周期性的重要结论-3-周期函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2|a|.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2|a|.(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则函数的周期为2|a|.(4)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2|a|.(5)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4|a|.函数图象对称变换的相关结论(1)y＝f(x)的图象关于y轴对称的图象是函数y＝f(－x)的图象．(2)y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象是函数y＝－f(x)的图象．(3)y＝f(x)的图象关于原点对称的图象是函数y＝－f(－x)的图象．(4)y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象是函数y＝f－1(x)的图象．(5)y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称的图象是函数y＝f(2m－x)的图象．(6)y＝f(x)的图象关于直线y＝n对称的图象是函数y＝2n－f(x)的图象．函数图象平移变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c0时向左平移，c0时向右平移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数)．(2)把y＝f(x)的图象沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度(b0时向上平移，b0时向下平移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数)．函数图象伸缩变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a1)或缩短(0a1)到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数y＝af(x)(a0)的图象．(2)把y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0b1)或缩短(b1)到原来的1b倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b0)的图象．常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表抽象函数的性质特殊函数模型①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x∈R，y∈R)；②f(x－y)＝f(x)－f(y)(x∈R，y∈R)正比例函数f(x)＝kx(k≠0)①f(x)f(y)＝f(x＋y)(x，y∈R)；②f（x）f（y）＝f(x－y)(x，y∈R，f(y)≠0)指数函数f(x)＝ax(a0，a≠1)①f(xy)＝f(x)＋f(y)(x0，y0)；对数函数f(x)＝logax(a0，a≠1)-4-②f(xy)＝f(x)－f(y)(x0，y0)①f(xy)＝f(x)f(y)(x，y∈R)；②f(xy)＝f（x）f（y）(x，y∈R，y≠0)幂函数f(x)＝xn可导函数与极值点之间的三种关系(1)定义域D上的可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x＝x0两侧异号，若“左负右正”，则x＝x0为极小值点，若“左正右负”，则x＝x0为极大值点．(2)函数f(x)在x＝x0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y＝|x|，结合图象知它在x＝0处有极小值，但它在x＝0处的导数不存在．(3)“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处取得极值”的既不充分也不必要条件，要注意对极值点进行检验．[必练习题]1．已知函数f(x)＝log2x＋a，x0，4x－2－1，x≤0.若f(a)＝3，则f(a－2)＝()A．－1516B．3C．－6364或3D．－1516或3解析：选A.当a0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－1516.故选A.2．(2019·贵州省适应性考试)若log2a＝0.3，0.3b＝2，c＝0.32，则实数a，b，c之间的大小关系为()A．abcB．acbC．cabD．bac解析：选B.根据题意有a＝20.3，b＝log0.32，c＝0.32，又20.320＝1，log0.32log0.31＝0，0.32＝0.09，所以acb.3．(2019·济南市学习质量评估)函数y＝x28－ln|x|的图象大致为()-5-解析：选D.令f(x)＝y＝x28－ln|x|，则f(－x)＝f(x)，故函数为偶函数，排除选项B；当x0且x→0时，y→＋∞，排除选项A；当x＝22时，y＝1－ln221－lne＝0，排除选项C.故选D.4．(2019·江西七校第一次联考)设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图象，则f(2018)＋f(2019)＝()A．2B．1C．－1D．0解析：选C.因为函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2018)＝f(2018－673×3)＝f(－1)，f(2019)＝f(2019－673×3)＝f(0)，由题中图象知f(－1)＝－1，f(0)＝0，所以f(2018)＋f(2019)＝f(－1)＋f(0)＝－1.5．(2019·济南市模拟考试)已知函数f(x)＝cos(2x－π2)＋xx2＋1＋1，则f(x)的最大值与最小值的和为()A．0B．1C．2D．4解析：选C.由已知得f(x)＝sin2x＋xx2＋1＋1，因为y＝sin2x，y＝xx2＋1都为奇函数，所以不妨设f(x)在x＝a处取得最大值，则根据奇函数的对称性可知，f(x)在x＝－a处取得最小值，故f(a)＋f(－a)＝sin2a＋aa2＋1＋1＋sin(－2a)＋－aa2＋1＋1＝2.选C.6．已知R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)＝log2(1－x)，则f(f(1))＝________．解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．当x0时，－x0，f(－x)＝log2(1＋x)＝－f(x)，故f(x)＝－log2(1＋x)，f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，f(f(1))＝f(－1)＝log22＝1.答案：17．若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则函数g(x)＝bx＋ax，x∈-6-[－4，－1]的值域为________．解析：由函数f(x)在[a－4，a]的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f(x)＝2x＋b，其定义域为[－2，2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝2x，易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即－2，－12.答案：－2，－128．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x，0≤x≤1，－2x＋4，x1，则函数y＝f(f(x))－1零点的个数为________．解析：函数y＝f(f(x))－1零点的个数等价于方程f(f(x))＝1实数根的个数，令μ＝f(x)，则f(μ)＝1.方程f(μ)＝1有3个实数根，且μ1＝－32，μ2＝0，μ3＝32.方程μ1＝f(x)有2个实数根，方程μ2＝f(x)有2个实数根，方程μ3＝f(x)有4个实数根，故函数y＝f(f(x))－1有8个零点．答案：89．已知函数f(x)＝ax2－x＋lnx(a0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，求a的值及在该点处的切线方程；(2)若f(x)是单调函数，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝2ax－1＋1x，易知f′(1)＝2a＝2，得a＝1，则f(1)＝0，所以所求切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)f′(x)＝2ax2－x＋1x，x∈(0，＋∞)，当f(x)是单调递增函数时，有f′(x)≥0，即2ax2－x＋1≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以2a≥x－1x2＝－1x2＋1x，令1x＝t，t0，则2a≥－t2＋t，t∈(0，＋∞)，则2a≥(－t2＋t)max，令h(t)＝－t2＋t(t0)，易知当t＝12时，h(t)取得最大值，h(t)max＝14，则2a≥14，所以a≥18；-7-当f(x)是单调递减函数时，有f′(x)≤0，即2ax2－x＋1≤0在x∈(0，＋∞)上恒成立，因为a0，所以2ax2－x＋1≤0在x∈(0，＋∞)上恒成立是不可能的．综上，a的取值范围为18，＋∞.10．(2019·四省八校双教研联考)已知函数f(x)＝ax－axlnx－1(a∈R，a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x1时，求证：1x－11ex－1.解：(