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-1-回顾4平面向量[必记知识]平面向量共线的坐标表示的两种形式(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1，此形式对任意向量a，b(b≠0)都适用．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x2y2≠0，则a∥b⇔x1x2＝y1y2.需要注意的是可以利用x1x2＝y1y2来判定a∥b，但是反过来不一定成立．向量法证明三点共线(1)对于OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1，反之，也成立．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线，则(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)或(x2－x1)(y3－y1)＝(x3－x1)(y2－y1)或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)．同样地，当这些条件中有一个成立时，A，B，C三点共线．平面向量的数量积已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22两向量的夹角与数量积设两个非零向量a与b的夹角为θ，则当θ＝0°时，cosθ＝1，a·b＝|a||b|；当θ为锐角时，cosθ0，a·b0；当θ为直角时，cosθ＝0，a·b＝0；当θ为钝角时，cosθ0，a·b0；-2-当θ＝180°时，cosθ＝－1，a·b＝－|a||b|.[必会结论]三点共线的判定A，B，C三点共线⇔AB→，AC→共线；向量PA→，PB→，PC→中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得PA→＝αPB→＋βPC→，且α＋β＝1.三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝a2sinA.(2)O为△ABC的重心⇔OA→＋OB→＋OC→＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→.(4)O为△ABC的内心⇔aOA→＋bOB→＋cOC→＝0.[必练习题]1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，m)，且(a＋b)∥(a－b)，则实数m的值为()A．2B．－2C.12D．－12解析：选D.因为a＝(2，1)，b＝(－1，m)，所以a＋b＝(1，1＋m)，a－b＝(3，1－m)．又因为(a＋b)∥(a－b)，所以1×(1－m)＝(1＋m)×3，解得m＝－12.故选D.2．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2AO→＝AB→＋AC→，且|OA→|＝|AB→|，则向量CA→在向量CB→方向上的投影为()A.12B．－32C．－12D.32解析：选D.依题意知，圆心O为BC的中点，即BC是△ABC的外接圆的直径，AC⊥AB.又AO＝OB＝AB＝1，因此∠ABC＝60°，∠ACB＝30°，|CA→|＝3，CA→在CB→方向上的投影为|CA→|cos30°＝3×32＝32，故选D.3．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A.π6B.π3-3-C.2π3D.5π6解析：选A.因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，所以a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，所以|a＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，所以|a|＝3|b|，cos〈a＋b，a〉＝（a＋b）·a|a＋b||a|＝a2＋a·b|a＋b||a|＝|a|22|b||a|＝|a|2|b|＝32，故a＋b与a的夹角为π6.4．已知单位向量e1，e2，且〈e1，e2〉＝π3，若向量a＝e1－2e2，则|a|＝________．解析：因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝π3，所以|a|2＝|e1－2e2|2＝1－4|e1|·|e2|cosπ3＋4|e2|2＝1－4×1×1×12＋4＝3，即|a|＝3.答案：3