（新课标）2020版高考数学二轮复习 第三部分 教材知识 重点再现 回顾8 解析几何学案 文 新人教

-1-回顾8解析几何[必记知识]直线方程的五种形式名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)(x0，y0)是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式y＝kx＋bk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式xa＋yb＝1a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)A，B都不为零时，斜率为－AB，在x轴上的截距为－CA，在y轴上的截距为－CB任何位置的直线圆的四种方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)．(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．(3)圆的参数方程：x＝a＋rcosθy＝b＋rsinθ(θ为参数)．(4)圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的端点是A(x1，y1)，B(x2，y2))．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)有相交、相离、相切三种情况．可从代数和几何两个方面来判断：(1)代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况)：Δ0⇔相交；Δ0⇔相离；Δ＝0⇔相切．(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr⇔相交；dr⇔相离；d＝r⇔相切．-2-圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20)，则其位置关系的判断方法如下表：方法位置关系几何法代数法公切线的条数圆心距d与r1，r2的关系联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1＋r2无解4外切d＝r1＋r2一组实数解3相交|r1－r2|dr1＋r2两组不同的实数解2内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解1内含0≤d|r1－r2|(r1≠r2)无解0椭圆的标准方程及几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形几何性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)轴线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率焦距与长轴长的比值：e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2双曲线的标准方程及几何性质-3-标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形几何性质范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)几何性质轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率焦距与实轴长的比值：e∈(1，＋∞)渐近线y＝±baxy＝±abxa，b，c的关系a2＝c2－b2抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图形几何性质对称轴x轴y轴顶点O(0，0)焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R-4-离心率e＝1[必会结论]常见的直线系方程(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，还可以表示为y－y0＝k(x－x0)(斜率不存在时可为x＝x0)．(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.(4)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．与圆的切线有关的结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.(4)若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d＝（x0－a）2＋（y0－b）2－r2.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，则渐近线的方程为x2a2－y2b2＝0，即y＝±bax.(2)若渐近线的方程为y＝±bax，即xa±yb＝0，则双曲线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ.(3)若所求双曲线与双曲线x2a2－y2b2＝1有公共渐近线，其方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ0，焦点在x轴上；λ0，焦点在y轴上)．(4)焦点到渐近线的距离总是b.抛物线焦点弦的常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则(1)焦半径|AF|＝x1＋p2＝p1－cosα，|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosα.(2)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.-5-(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(4)1|FA|＋1|FB|＝2p.(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．(6)S△OAB＝p22sinα(O为抛物线的顶点)．[必练习题]1．(一题多解)(2019·高考北京卷)已知双曲线x2a2－y2＝1(a＞0)的离心率是5，则a＝()A.6B.4C.2D.12解析：选D.通解：由双曲线方程可知b2＝1，所以c＝a2＋b2＝a2＋1，所以e＝ca＝a2＋1a＝5，解得a＝12，故选D.优解：由e＝5，e2＝1＋b2a2，b2＝1，得5＝1＋1a2，得a＝12，故选D.2．(一题多解)(2019·石家庄市模拟(一))已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为()A．8B．22C．5D.5解析：选D.通解：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，因为圆C经过点(－1，0)和(2，3)，所以（a＋1）2＋b2＝r2（a－2）2＋（b－3）2＝r2，所以a＋b－2＝0①，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以|a|＝|b|②，由①②得a＝b＝1，所以圆C的半径为5，故选D.优解：设圆C过点M(－1，0)和N(2，3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线y＝－x＋2上，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C到两坐标的距离相等，所以圆心在直线y＝±x上，因为直线y＝－x和直线y＝－x＋2平行，所以圆心C为直线y＝x和直线y＝－x＋2的交点(1，1)，所以圆C的半径为5，故选D.3．(2019·合肥市第二次质量检测)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝2x，且经过点P(6，4)，则双曲线的方程是()-6-A.x24－y232＝1B.x23－y24＝1C.x22－y28＝1D．x2－y24＝1解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，所以ba＝2①.又双曲线过点P(6，4)，所以6a2－16b2＝1②.①②联立，解得a＝2，b＝22，所以双曲线的方程为x22－y28＝1，故选C.4．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为()A．2B．3C．4D．5解析：选B.圆的方程配方，得(x＋1)2＋(y－a)2＝1＋a2，圆心为C(－1，a)，当弦AB长度最短时，∠ACB最小，此时圆心C与定点(1，2)的连线和直线2x－y＝0垂直，所以a－2－1－1×2＝－1，a＝3.5．(2019·武汉部分学校调研)如图，抛物线E：x2＝4y与M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两点，点P为劣弧AB︵上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则△PMN的周长的取值范围是()A．(6，12)B．(8，10)C．(6，10)D．(8，12)解析：选B.由题意可得抛物线E的焦点为(0，1)，圆M的圆心为(0，1)，半径为4，所以圆心M(0，1)为抛物线的焦点，故|NM|等于点N到准线y＝－1的距离，又PN∥y轴，故|PN|＋|NM|等于点P到准线y＝－1的距离．由x2＝4yx2＋（y－1）2＝16，得y＝3，又点P为劣弧AB︵上不同于A，B的一个动点，所以点P到准线y＝－1的距离的取值范围是(4，6)，又|PM|＝4，所以△PMN的周长的取值范围是(8，10)，故选B.-7-6．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．解析：通解：由椭圆C：x236＋y220＝1，得c＝a2－b2＝4，不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意知|MF1|＝|F1F2|＝2c＝8，于是由椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝12，所以|MF2|＝12－|MF1|＝4，易知△MF1F2的底边MF2上的高h＝|F1F2|2－12|MF2|2＝82－22＝215，所以12|MF2|·h＝12|F1F2|·yM，即12×4×215＝12×8×yM，解得yM＝15，代入椭圆方程得xM＝－3(舍去)或xM＝3，故点M的坐标为(3，15)．优解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意，得|MF1|＝|F1F2|＝8，由椭圆的焦半径公式得|MF1|＝exM＋6＝23xM＋6＝8，解得xM＝3，代入椭圆方程得yM＝15，故点M的坐标为(3，15)．答案：(3，15)7．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.解析：双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝22，所以a2＋b2＝c2＝(22)2，解得a＝2.答案：28．(2019·成都市第二次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，定义两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的折线距离为d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.已知点O(0，0)，C(x，y)，d(O，C)＝1，则x2＋y2的取值范围是________．解析：根据定义有：d(O，C)＝|0－x|＋|0－y|＝1，-8-即|x|＋|y|＝1，该方程等价于x≥0y≥0x＋y＝1或x≥0y0x－y＝1或x0y0－x－y＝1或x0y≥0－x＋y＝1，画出图形如图所示，x2＋y2＝（x－0）2＋（y－0）2表示点(x，y)与点(0，0)的距离，所以x2＋y2∈22，1.答案：22，19．(2019·高考天津卷)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a