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-1-回顾9概率与统计[必记知识]概率的几个基本性质(1)任何事件A的概率都在0～1之间，即0≤P(A)≤1.(2)若A⊆B，则P(A)≤P(B)．(3)必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0.(4)当事件A与事件B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．注意没有事件A与事件B互斥这一条件时，这个公式不成立．(5)若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1.古典概型与几何概型的异同(1)古典概型的概率计算公式P(A)＝事件A包含的基本事件的个数基本事件的总数.(2)几何概型的概率计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点①基本事件有有限个．②P(A)＝0⇔A为不可能事件．③P(B)＝1⇔B为必然事件①基本事件有无限个．②P(A)＝0⇔A为不可能事件．③P(B)＝1⇔B为必然事件抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．(1)从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率都为nN.(2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．统计中的四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)．(4)方差与标准差-2-方差：s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．标准差：s＝1n[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2].[必会结论]直方图的三个结论(1)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率．(2)各小长方形的面积之和等于1.(3)小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.线性回归方程线性回归方程y^＝b^x＋a^一定过样本点的中心(x，y)．独立性检验利用随机变量K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的这种判断犯错误的可能性越小．[必练习题]1．(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知x与y之间的一组数据如表：x0123ym35.57已求得y关于x的线性回归方程y^＝2.1x＋0.85，则m的值为()A．1B．0.85C．0.7D．0.5解析：选D.x－＝0＋1＋2＋34＝1.5，y^＝m＋3＋5.5＋74＝m＋15.54，因为点(x－，y－)在回归直线上，所以m＋15.54＝2.1×1.5＋0.85，解得m＝0.5，故选D.2．(2019·福州市第一学期抽测)随机抽取某中学甲班9名学生、乙班10名学生的期中考试数学成绩，获得茎叶图如图．估计该中学甲、乙两班期中考试数学成绩的中位数分别是()-3-A．75，84B．76，83C．76，84D．75，83解析：选B.甲班9名学生的期中考试数学成绩分别为52，66，72，74，76，76，78，82，96，中位数为76，乙班10名学生的期中考试数学成绩分别为62，74，76，78，82，84，85，86，88，92，中位数为82＋842＝83，所以估计该中学甲、乙两班期中考试数学成绩的中位数分别是76，83，故选B.3．(2019·昆明市诊断测试)高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作试验基地．这n座城市共享单车的使用量(单位：人次/天)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是()A．x1，x2，…xn的平均数B．x1，x2，…xn的标准差C．x1，x2，…xn的最大值D．x1，x2，…xn的中位数解析：选B.平均数、中位数可以反映一组数据的集中程度；方差、标准差可以反映一组数据的波动大小，同时也反映这组数据的稳定程度．故选B.4．(2019·济南市学习质量评估)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝3，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向△ABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为()A.π6B．1－π6C.π4D．1－π4解析：选B.三个空白部分的面积之和为一个半径为1的圆的面积的二分之一，即π2，△ABC的面积为3，故所求的概率为1－π23＝1－π6.5．某校为了了解学生一天的休息状况，分别从高一年级的510名学生、高二年级的480名学生、高三年级的450名学生中用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本进行调查，其中从高三年级抽取了15名，则n＝________．-4-解析：由题意知抽样比为15450＝130，所以n510＋480＋450＝130，解得n＝48.答案：486．(一题多解)(2019·武昌区调研考试)甲盒中有红、黑皮笔记本各2本，乙盒中有黄、黑皮笔记本各1本，从两盒中各取1本，则取出的2本笔记本是不同颜色的概率为________．解析：法一：依题意，从甲盒、乙盒中各取1本笔记本共有4×2＝8(种)取法，取出的2本笔记本是不同颜色的方法有2×2＋2×1＝6(种)，所以取出的2本笔记本是不同颜色的概率P＝68＝34.法二：依题意，从甲盒、乙盒中各取1本笔记本共有4×2＝8(种)取法，取出的2本笔记本是相同颜色的方法有2种，所以取出的2本笔记本是相同颜色的概率P′＝28＝14，所以取出的2本笔记本是不同颜色的概率P＝1－14＝34.答案：347．(2019·武昌区调研考试)对参加某次数学竞赛的1000名选手的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图完成以下表格；成绩[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数(2)求参赛选手初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入复赛选手的成绩？解：(1)填表如下．成绩[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数50150350350100(2)平均数为55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78，方差s2＝(－23)2×0.05＋(－13)2×0.15＋(－3)2×0.35＋72×0.35＋172×0.1＝101.-5-(3)进入复赛选手的成绩为80＋350－（380－100）350×10＝82(分)，所以初赛成绩为82分及其以上的选手均可进入复赛．(说明：回答82分以上，或82分及其以上均可)8．2019年国际篮联篮球世界杯，于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举办．为了宣传世界杯，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否会收看篮球世界杯赛进行了问卷调查，统计数据如下：会收看不会收看男生6020女生2020(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关？(2)现从参与问卷调查且会收看篮球世界杯赛的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取4人参加2019年国际篮联篮球世界杯志愿者宣传活动．(ⅰ)求男、女学生各选取多少人；(ⅱ)若从这4人中随机选取2人到校广播站开展2019年国际篮联篮球世界杯宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.010.005k02.7063.8415.0246.6357.879解：(1)因为K2＝120×（60×20－20×20）280×40×80×40＝7.56.635，所以有99%的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关．(2)(ⅰ)根据分层抽样的知识得，选取的男生有6060＋20×4＝3(人)，女生有2060＋20×4＝1(人)，所以选取的4人中，男生有3人，女生有1人．(ⅱ)设选取的3名男生分别为A，B，C，1名女生为甲．从4人中随机选取2人，有(A，B)，(A，C)，(A，甲)，(B，C)，(B，甲)，(C，甲)，共6种情形，其中恰好选到2名男生，有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种情形，所以，所求概率P＝36＝12.-6-