（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第3讲 导数的简单应用学案 文 新人教A版

-1-第3讲导数的简单应用[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0解析：选C.依题意得y′＝2cosx－sinx，y′|x＝π＝(2cosx－sinx)|x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1解析：选D.因为y′＝aex＋lnx＋1，所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，与切线方程y＝2x＋b对照，可得ae＋1＝2，b＝－1，解得a＝e－1，b＝－1.故选D.3．(2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.讨论f(x)的单调性．解：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a3.若a0，则当x∈(－∞，0)∪a3，＋∞时，f′(x)0；当x∈0，a3时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，0)，a3，＋∞单调递增，在0，a3单调递减．若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．若a0，则当x∈－∞，a3∪(0，＋∞)时，f′(x)0；当x∈a3，0时，f′(x)0.故f(x)在－∞，a3，(0，＋∞)单调递增，在a3，0单调递减．[明考情]1．此部分内容是高考命题的热点内容，在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小．2．应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．有时也常在解答题的第一问中考查，难度一般．-2-导数的运算及其几何意义(基础型)[知识整合]导数公式(1)(sinx)′＝cosx；(2)(cosx)′＝－sinx；(3)(ax)′＝axlna(a＞0)；(4)(logax)′＝1xlna(a＞0，且a≠1)．导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．[考法全练]1．已知函数f(x)＝xex(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝()A.1＋xexB.1－xexC．1＋xD．1－x解析：选B.函数f(x)＝xex，则其导函数f′(x)＝ex－xexe2x＝1－xex，故选B.2．(2019·福州市第一学期抽测)曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A．2B.32C.12D.14解析：选D.f′(x)＝1＋1x，则f′(1)＝2，故曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，(12，0)，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选D.3．(2019·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)的图象与直线x－y＋1＝0相切，则实数a的值为________．解析：设直线x－y＋1＝0与函数f(x)＝lnx－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)-3-＝1x－a，所以由题意，得x0－y0＋1＝0f′（x0）＝1x0－a＝1f（x0）＝lnx0－ax0＝y0，解得a＝1e2－1.答案：1e2－1利用导数研究函数的单调性(综合型)[知识整合]导数与函数单调性的关系(1)f′(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．[典型例题](2019·济南市模拟考试节选)已知函数f(x)＝a2(x－1)2－x＋lnx(a0)．讨论f(x)的单调性．【解】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a(x－1)－1＋1x＝（x－1）（ax－1）x，令f′(x)＝0，则x1＝1，x2＝1a，①若a＝1，则f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．②若0a1，则1a1，当x∈(0，1)时，f′(x)0，f(x)是增函数，当x∈1，1a时，f′(x)0，f(x)是减函数，当x∈1a，＋∞时，f′(x)0，f(x)是增函数．③若a1，则01a1，当x∈0，1a时，f′(x)0，f(x)是增函数，当x∈1a，1时，f′(x)0，f(x)是减函数，-4-当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)是增函数．综上所述，当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当0a1时，f(x)在(0，1)上是增函数，在1，1a上是减函数，在1a，＋∞上是增函数；当a1时，f(x)在0，1a上是增函数，在1a，1上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．求解或讨论函数单调性问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．[注意]讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．[对点训练]1．若函数f(x)＝x33－a2x2＋x＋1在区间(12，3)上单调递减，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝x2－ax＋1，因为函数f(x)在区间(12，3)上单调递减，所以f′(x)≤0在区间(12，3)上恒成立，所以f′（12）≤0f′（3）≤0，即14－12a＋1≤09－3a＋1≤0，解得a≥103，所以实数a的取值范围为[103，＋∞)．答案：[103，＋∞)2．已知函数f(x)＝x2－3ax＋a2lnx(a∈R)，求f(x)的单调区间．解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－3a＋a2x＝2x2－3ax＋a2x＝2（x－a2）（x－a）x.①当a≤0时，f′(x)0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；②当a0时，由f′(x)0解得x∈(0，a2)∪(a，＋∞)，由f′(x)0解得x∈(a2，a)，-5-所以f(x)的单调递增区间为(0，a2)和(a，＋∞)，单调递减区间是(a2，a)．利用导数研究函数的极值(最值)(综合型)[知识整合]导数与函数的极值、最值的关系(1)若在x0附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，且在极值点或端点处取得．[典型例题]已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx，其中a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx(x0)，所以f′(x)＝2x－3＋1x＝2x2－3x＋1x，所以f(1)＝－2，f′(1)＝0.所以切线方程为y＝－2.(2)函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx的定义域为(0，＋∞)，当a0时，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋1x＝2ax2－（a＋2）x＋1x＝（2x－1）（ax－1）x，令f′(x)＝0，解得x＝12或x＝1a.①当01a≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增．所以f(x)在[1，e]上的最小值为f(1)＝－2，符合题意；②当11ae，即1ea1时，f(x)在1，1a上单调递减，在1a，e上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最小值为f1af(1)＝－2，不合题意．③当1a≥e，即0a≤1e时，f(x)在[1，e]上单调递减，所以f(x)在[1，e]上的最小值为f(e)f(1)＝－2，不合题意．综上，实数a的取值范围是[1，＋∞)．利用导数研究函数极值、最值的方法-6-(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．[对点训练]1．(2019·河北省九校第二次联考)函数f(x)＝x2－lnx的最小值为()A．1＋ln2B．1－ln2C.1＋ln22D.1－ln22解析：选C.因为f(x)＝x2－lnx(x0)，所以f′(x)＝2x－1x，令2x－1x＝0得x＝22，令f′(x)0，则x22；令f′(x)0，则0x22，所以f(x)在0，22上单调递减，在22，＋∞上单调递增，所以f(x)的极小值(也是最小值)为222－ln22＝1＋ln22，故选C.2．设函数f(x)＝2(x－2)ex－ax2＋2ax＋3，若x＝1是f(x)的极小值点，求实数a的取值范围．解：f′(x)＝2(x－1)ex－2ax＋2a＝2(x－1)(ex－a)；①当a≤0时，ex－a0⇒f′(x)＝0⇒x＝1，x∈(－∞，1)⇒f′(x)0；x∈(1，＋∞)⇒f′(x)0；x＝1是f(x)的极小值点，所以a≤0符合题意；②当0ae时，f′(x)＝0⇒x1＝1或x2＝lna，且lna1；x∈(－∞，lna)⇒f′(x)0；x∈(lna，1)⇒f′(x)0；x∈(1，＋∞)⇒f′(x)0；x＝1是f(x)的极小值点，所以0ae符合题意；③当ae时，f′(x)＝0⇒x1＝1或x2＝lna，且lna1；x∈(－∞，1)⇒f′(x)0；x∈(1，lna)⇒f′(x)0；x∈(lna，＋∞)⇒f′(x)0；x＝1是f(x)的极大值点，所以ae不符合题意；当a＝e时，f′(x)＝2(x－1)(ex－e)≥0，f(x)在R上单调递增，无极值．综上，实数a的取值范围为(－∞，e)．-7-一、选择题1．(一题多解)(2019·河北省九校第二次联考)函数y＝x＋3x＋2lnx的单调递减区间是()A．(－3，1)B．(0，1)C．(－1，3)D．(0，3)解析：选B.法一：令y′＝1－3x2＋2x0，得－3x1，又x0，故所求函数的单调递减区间为(0，1)．故选B.法二：由题意知x0，故排除A、C选项；又f(1)＝4f(2)＝72＋2ln2，故排除D选项．故选B.2．(2019·昆明市诊断测试)已知函数f(x)＝(x2－m)ex，若函数f(x)的图象在x＝1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是()A．4e－2B．4e2C．e－2D．e2解析：选A.f′(x)＝(x2＋2x－m)ex.由题意知，f′(1)＝(3－m)e＝3e，所以m＝0，f′(x)＝(x2＋2x)ex.当x0或x－2时，f′(x)0，f(x)