（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题七 选考部分 第1讲 坐标系与参数方程学案 文 新人教A版

-1-第1讲坐标系与参数方程[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解：(1)因为－1＜1－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t2（1＋t2）2＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－π＜α＜π)．C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解：(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点．连接OQ，-2-在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.[明考情]1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．-3-极坐标方程及其应用(综合型)[知识整合]1．极坐标与直角坐标的互化方法点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0）2.圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r.(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acosθ.(3)当圆心位于M(a，π2)，半径为a：ρ＝2asinθ.3．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a.(3)直线过点M(b，π2)且平行于极轴：ρsinθ＝b.[典型例题](2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B2，π4，C2，3π4，-4-D(2，π)，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的圆心分别是(1，0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧AB︵，曲线M2是弧BC︵，曲线M3是弧CD︵.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．【解】(1)由题设可得，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π3或3，2π3或3，5π6.(1)求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．(2)解决极坐标问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．[对点训练]1．在极坐标系中，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22(ρ≥0，0≤θ2π)．(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．-5-解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsinθ－π4＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0，解得x＝0，y＝1，即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为1，π2，即为所求．2．(2019·安徽五校联盟第二次质检)在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝0，圆C：(x－1)2＋(y－1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；(2)若直线l2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求△OAB的面积．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2，所以直线l1的极坐标方程为ρcosθ＝0，即θ＝π2(ρ∈R)，圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2(1＋2)ρsinθ＋3＋22＝0.(2)设A(ρ1，π2)、B(ρ2，π4)，将θ＝π2代入ρ2－2ρcosθ－2(1＋2)ρsinθ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－2(1＋2)ρsinθ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋2.故△OAB的面积为12×(1＋2)2×sinπ4＝1＋324.参数方程及其应用(综合型)[知识整合]-6-直线和圆锥曲线的普通方程和参数方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)[典型例题](2019·郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，直线l的参数方程为x＝－2＋22ty＝22t(t为参数)，直线l与曲线C交于M，N两点．(1)若点P的极坐标为(2，π)，求|PM|·|PN|的值；(2)求曲线C的内接矩形周长的最大值．【解】(1)由ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12得x2＋3y2＝12，故曲线C的直角坐标方程为x212＋y24＝1，点P的直角坐标为(－2，0)，将直线l的参数方程x＝－2＋22t，y＝22t，代入曲线C的直角坐标方程x212＋y24＝1中，得t2－2t－4＝0，设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝4.(2)由曲线C的直角坐标方程为x212＋y24＝1，可设曲线C上的动点A(23cosα，2sinα)，0απ2.则以A为顶点的内接矩形的周长为4(23cosα＋2sinα)＝16sinα＋π3，0απ2.因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当α＝π6时取得最大值．(1)有关参数方程问题的2个关键点-7-①参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化．②利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义．(2)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：①t0＝t1＋t22.②|PM|＝|t0|＝t1＋t22.③|AB|＝|t2－t1|.④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.[对点训练]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθy＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O的普通方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当21＋k21，解得k－1或k1，即α∈π4，π2或α∈π2，3π4.综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinαt为参数，π4α3π4.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.-8-又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα.所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2αα为参数，π4α3π4.2．(2019·成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝12t，y＝32t－1(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ＝22sinπ4＋θ.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设点P(0，－1)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．解：(1)将直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l的普通方程为3x－y－1＝0.曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝22ρ22sinθ＋22cosθ，即ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，所以x2＋y2＝2y＋2x，故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)将直线l的参数方程代入(x－1)2＋(y－1)2＝2中，得12t－12＋32t－22＝2，化简，得t2－(1＋23)t＋3＝0.因为Δ0，所以此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得t1＋t2＝23＋1，t1t2＝3，故t1，t2同正．由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝23＋1.极坐标方程与参数方程的综合应用(综合型)[典型例