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-1-第1讲直线与圆[做真题]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C.3D．2解析：选A.由圆的方程可知圆心(1，4)．由点到直线的距离公式可得|a×1＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43，故选A.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝______．解析：将圆x2＋y2＋2y－3＝0化为标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，则圆心坐标为(0，－1)，半径r＝2，所以圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝22＝2，所以|AB|＝2r2－d2＝222－（2）2＝22.答案：223．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解：(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得|AO|＝2，又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.-2-因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.[明考情]1．直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点．2．考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，其难度多为中档题．直线的方程(基础型)[知识整合]三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.(2)点到直线的距离：d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(其中点为(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．(3)两平行直线间的距离：d＝|C2－C1|A2＋B2(其中两平行直线的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．[注意]要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．[考法全练]1．已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为()A．0B．1C．0或1D．－1或1解析：选C.直线l1的斜率k1＝3a－01－（－2）＝a.当a≠0时，直线l2的斜率k2＝－2a－（－1）a－0＝1－2aa.因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·1－2aa＝－1，解得a＝1.当a＝0时，P(0，－1)，Q(0，0)，此时直线l2为y轴，又A(－2，0)，B(1，0)，则直线l1为x轴，-3-显然l1⊥l2.综上可知，实数a的值为0或1.故选C.2．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为()A.423B．42C.823D．22解析：选C.因为l1∥l2，所以1a－2＝a3≠62a，解得a＝－1，所以l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，所以l1与l2的距离d＝6－232＝823.3．若直线l1：y＝kx－k＋2与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点()A．(3，1)B．(3，0)C．(0，1)D．(2，1)解析：选B.因为y＝kx－k＋2＝k(x－1)＋2，所以l1：y＝kx－k＋2过定点(1，2)．设定点(1，2)关于点(2，1)对称的点的坐标为(x，y)，则1＋x2＝2，2＋y2＝1，得x＝3，y＝0，所以直线l2过定点(3，0)．故选B.圆的方程(基础型)[知识整合]圆的3种方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．(3)圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2))．[考法全练]1．(2019·河北省九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－4x＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m0)，则|3m＋4|32＋42＝2，解得m＝2或m-4-＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.2．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为________________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝93．若不同的两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为______，圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为______．解析：kPQ＝3－a－b3－b－a＝1，故直线l的斜率为－1，由点斜式可知l的方程为y＝－x＋3，圆心(2，3)关于直线y＝－x＋3的对称点为(0，1)，故所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝1.答案：－1x2＋(y－1)2＝1直线(圆)与圆的位置关系(综合型)[知识整合]直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr⇔相交；d＝r⇔相切；dr⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ0⇔相离．圆与圆的位置关系的判定(1)dr1＋r2⇔两圆外离．(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切．(3)|r1－r2|dr1＋r2⇔两圆相交．(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切．(5)0≤d|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．[典型例题](1)(2019·洛阳市统考)已知直线x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r0)相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且3AD→＝5DB→，则r＝______．-5-(2)已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点M为抛物线C上任意一点，过点M向圆(x－1)2＋y2＝12作切线，切点分别为A，B，则四边形AFBM面积的最小值为________．【解析】(1)如图，过O点作OE⊥AB于点E，连接OA，则|OE|＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE|＝|EB|，不妨令|AD|＝5m(m0)，由3AD→＝5DB→可得，|BD|＝3m，|AB|＝8m，则|DE|＝4m－3m＝m，在Rt△ODE中，有12r2＝(2)2＋m2①，在Rt△OAE中，有r2＝(2)2＋(4m)2②，联立①②，解得r＝10.(2)设M(x，y)，易知抛物线C的焦点F(1，0)也为圆的圆心，圆的半径r＝|FA|＝22，连接MF，则|MF|＝x＋1.因为MA为切线，所以MA⊥AF，在Rt△MAF中，|MA|＝|MF|2－r2＝（x＋1）2－12.易知△MAF≌△MBF，所以四边形AFBM的面积S＝2×12|MA|×|AF|＝22|MA|＝22（x＋1）2－12，又因为x≥0，所以当x＝0时，四边形AFBM的面积取得最小值，所以Smin＝22×22＝12.【答案】(1)10(2)12(1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路①研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．②利用位置关系求过圆外一定点的切线方程的基本思路：首先将直线方程设为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，最后若求得的斜率只有一个，则存在一条过切-6-点与x轴垂直的切线．(2)弦长的求解方法①根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系R2＝d2＋l24(其中l为弦长，R为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．②根据公式：l＝1＋k2|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．③求出交点坐标，用两点间距离公式求解．[对点训练]1．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22.则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：选B.由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M与圆N的圆心距|MN|＝21＋2，两圆半径之差为1，故两圆相交．2．(一题多解)(2019·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．解析：法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝5.法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以m＋10－（－2）×2＝－1，所以m＝－2，r＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝5.答案：－253．已知点P是圆(x＋3)2＋(y－1)2＝2上的动点，点Q(2，2)，O为坐标原点，则△OPQ面积的最小值是________．解析：因为圆(x＋3)2＋(y－1)2＝2，直线OQ的方程为y＝x，所以圆心(－3，1)到直线OQ的距离为d＝|－3－1|2＝22，所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为22－2＝2，所以△OPQ面积的最小值为12×22×2＝2.答案：2-7-一、选择题1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，则a的值等于()A．1B．－13C．－23D．－2解析：选D.直线ax＋2y＋1＝0的斜率k1＝－a2，直线x＋y－2＝0的斜率k2＝－1，因为两直线相互垂直，所以k1·k2＝－1，即(－a2)·(－1)＝－1，所以a＝－2.2．半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝22均相切，则该圆的标准方程为()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4D．(x－22)2＋(y＋22)2＝4解析：选C.设圆心坐标为(2，－a)(a0)，则圆心到直线x＋y＝22的距离d＝|2－a－22|2＝2，所以a＝2，所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，故选C.3．已知直线l：y＝x＋1平分圆C：(x－1)2＋(y－b)2＝4的周长，则直线x＝3与圆C的位置关系是()A