（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线学案 文 新人教

-1-第2讲椭圆、双曲线、抛物线[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8解析：选D.依题意得p2＝3p－p，解得p＝8，故选D.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin40°B．2cos40°C.1sin50°D.1cos50°解析：选D.依题意知，－ba＝tan130°＝tan(130°－180°)＝－tan50°，两边平方得c2－a2a2＝tan250°＝e2－1，e2＝1＋tan250°＝1cos250°，又e1，所以e＝1cos50°，选D.3．(2016·高考全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.12B．1C.32D．2解析：选D.易知抛物线的焦点为F(1，0)，设P(xP，yP)，由PF⊥x轴可得xP＝1，代入抛物线方程得yP＝2(－2舍去)，把P(1，2)代入曲线y＝kx(k＞0)得k＝2.4．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：x24－y25＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A.32B.52-2-C.72D.92解析：选B.因为c2＝a2＋b2＝9，所以|OP|＝|OF|＝3.设点P的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝9，把x2＝9－y2代入双曲线方程得|y|＝53，所以S△OPF＝12|OF|·|yP|＝52.故选B.5．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A.2B．2C.322D．22解析：选D.法一：由离心率e＝ca＝2，得c＝2a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为41＋1＝22.故选D.法二：离心率e＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为41＋1＝22.故选D.[明考情]圆锥曲线的标准方程与几何性质一直是高考的命题热点，其中求解圆锥曲线的标准方程，直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系是高考解答题的常考内容，离心率问题、双曲线的渐近线问题等常出现在选择题、填空题中．-3-圆锥曲线的定义及标准方程(综合型)[知识整合]名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(02a|F1F2|)|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2＝2px(p＞0)图形[典型例题](1)(2019·广东六校第一次联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为2，若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A．x2－y2＝1B.x22－y22＝1C.x24－y24＝1D.x28－y28＝1(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1【解析】(1)由题意，得双曲线的左焦点为F(－c，0)．由离心率e＝ca＝2，得c＝2a，c2＝2a2＝a2＋b2，即a＝b，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，则经过F和P(0，4)两点的直线的斜率k＝4c＝1，得c＝4，所以a＝b＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1，故选D.(2)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令-4-∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝1a.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝a23a2＝13，所以13＝1－2(1a)2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23＋y22＝1.故选B.【答案】(1)D(2)B(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解．②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．②计算．即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m0，n0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn0)．[对点训练]1．已知抛物线y2＝2px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()A．±3B．±1C．±34D．±33解析：选A.设M(x，y)，由题意知Fp2，0，由抛物线的定义，可知x＋p2＝2p，故x＝3p2，由y2＝2p×3p2，知y＝±3p.当M3p2，3p时，kMF＝3p－03p2－p2＝3，当M3p2，－3p时，kMF＝－3p－03p2－p2＝－3，故kMF＝±3.故选A.2．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为5，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为()A.x22－y28＝1B.x24－y2＝1-5-C.x24－y216＝1D．x2－y24＝1解析：选D.因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为5，所以1＋b2a2＝5，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－y24＝1，故选D.3．已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝()A．1B．2C．4D.12解析：选A.如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|.根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，即|PF2|－|PQ|＝2，从而|QF2|＝2.在△F1QF2中，易知OH为中位线，则|OH|＝1.圆锥曲线的几何性质(综合型)[知识整合]椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝ca＝1－ba2.(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ca＝1＋ba2.双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．[典型例题](1)P是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝12，则椭圆的离心率e为()-6-A.23B.22C.33D.12(2)(一题多解)(2019·东北四市联合体模拟(一))已知矩形ABCD，AB＝12，BC＝5，则以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为______．【解析】(1)如图，不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP＝c，将xP＝c代入椭圆方程得yP＝b2a，即|PF|＝b2a，则tan∠PAF＝|PF||AF|＝b2aa＋c＝12，结合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同时除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝12或e＝－1(舍去)．故选D.(2)通解：取AB的中点O为坐标原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则焦距2c＝12，所以c＝6，将点C(6，5)代入双曲线方程，得62a2－52b2＝1①，又因为a2＋b2＝62②，由①②解得a＝4，b＝25，所以双曲线的离心率e＝ca＝64＝32.优解：设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，则根据双曲线的性质得c＝6，b2a＝5，所以a2＋b2＝36，b2＝5a，即a2＋5a－36＝0，解得a＝4或a＝－9(舍去)，所以双曲线的离心率e＝ca＝64＝32.【答案】(1)D(2)32(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法-7-求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求ca的值．(2)双曲线的渐近线的求法及用法①求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．②用法：(i)可得ba或ab的值．(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[对点训练]1．(2019·福建省质量检查)已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点(5，0)到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为()A．y＝±12xB．y＝±23xC．y＝±32xD．y＝±2x解析：选D.设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则由题意得c＝5.双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，所以5bb2＋a2＝2，又c2＝a2＋b2＝5，所以b＝2，所以a＝c2－b2＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，故选D.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是()A．(53，2]B．(1，53]C．(1，2]D．[53，＋∞)解析：选B.由|PF1|＝4|PF2|，得|PF2|＝|PF1|－|PF2|3＝2a3≥c－a，故c≤2a3＋a＝5a3，则e＝ca≤53，又因为双曲线的离心率e1，所以1e≤53.3．已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是________．解析：-8-如图，设△AOB的边长为a，则A(32a，12a)，因为点A在抛物线y2＝3x上，所以14a2＝3×32a，所以a＝63.答案：63直线与圆锥曲线(综合型)[知识整合]直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如y)得到方程Ax2＋Bx＋C＝0.①若A＝0，则：圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点．②若A≠0，则：当Δ0时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线有一个交点(相切)；当Δ0时，直线与圆锥曲线没有交点(相离)．直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入，即当直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|，其中|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2.[典型例题]已知O为坐标原点，点R(0，2)，F是抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点，|RF|＝3|OF|.(1)求抛物线C的方程；(2)过点R的直线l与抛物线C相交于A，B两点，与直线y＝－2交于点M，抛物线C在点A，B处的切线分别记为l1，l2，l1与l2交于点N，若△MON是等腰三角形，求直线l的方程．【解】(1)因为F是抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点，所以点F的坐标为0，p2.-9-因为点R(0，2)，|RF|＝3|OF|，所以2－p2＝3×p2，解得p＝1.所以抛物线C的方程为x2＝2y.(2)依题意知，直线l的斜率存在