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-1-3.1.3频率与概率学习目标核心素养1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．(重点)2．正确理解概率的意义，利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．(重点)3．理解概率的意义以及频率与概率的区别．(难点)1.通过频率与概率的学习，培养数学抽象的数学核心素养．2．借助概率知识理解现实生活中的实际问题，提升数学运算的核心素养.1．概率(1)统计定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率mn，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．(2)性质：随机事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1.特别地，①当A是必然事件时，P(A)＝1.②当A是不可能事件时，P(A)＝0.2．概率与频率之间的联系概率是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的一个近似值．概率从数量上反映了一个事件发生可能性的大小．1．下列说法正确的是()A．任何事件的概率总是在(0,1]之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的．在试验前不能确定C[由概率与频率的有关概念可知C正确．]2．某医院治疗一种疾病的治愈率为15，前4个病人都没有治好，第5个病人的治愈率为()A．1B.15C.45D．0-2-B[由概率的意义知，第5个病人的治愈率仍为15，与前4个病人都没治好没有关系．]3．某射击运动员射击20次，恰有18次击中目标，则该运动员击中目标的频率是________．0.9[设击中目标为事件A，则n＝20，nA＝18，则f20(A)＝1820＝0.9.]4．在一次掷硬币试验中，掷30000次，其中有14984次正面朝上，则出现正面朝上的频率是________，这样，掷一枚硬币，正面朝上的概率是________．0.49950.5[设“出现正面朝上”为事件A，则n＝30000，nA＝14984，fn(A)＝1498430000≈0.4995，P(A)＝0.5.]概率概念的理解[探究问题]1．如何理解概率意义上的“可能性”？[提示](1)概率意义上的“可能性”是大量随机现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次试验结果的不肯定性与多次试验累积结果的有规律性，才是概率意义上的“可能性”．(2)概率是根据大量的随机试验得到的一个相应的期望值，它说明一个事件发生的可能性的大小，并未说明一个事件一定发生或一定不发生．2．同一个随机事件在相同条件下在每次试验中发生的概率都一样吗？[提示]概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下在每次试验中发生的概率都是一样的．3．如何用概率知识解释天气预报中的“降水”？[提示]天气预报中的“降水”是一个随机事件，概率只是说明这个随机事件发生的可能性的大小，概率值越大，说明在一次试验中事件发生的可能性越大，但在一次试验中，“降水”这个事件是否发生还是随机的．【例1】下列说法正确的是()A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大-3-D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1[思路探究]抓住事件的概率是在大量试验基础上得到，它只反映事件发生的可能性大小．D[一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．]1．概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．2．由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．3．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．1．我们知道，每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5，则连续抛掷质地均匀的硬币两次，是否一定出现“一次正面向上，一次反面向上”呢？[解]不一定．这是因为统计规律不同于确定的数学规律，对于具体的一次试验而言，它带有很大的随机性(即偶然性)，通过具体试验可以知道除上述结果外，也可能出现“两次都是正面向上”“两次都是反面向上”．尽管随机事件的概率不像函数关系那样具有确定性，但是如果我们知道某事件发生的概率的大小，也能作出科学的决策．例如：做连续抛掷两枚质地均匀的硬币的试验1000次，可以预见：“两个都是正面向上”大约出现250次，“两个都是反面向上”大约出现250次，而“一个正面向上、一个反面向上”大约出现500次．2．若某种彩票准备发行1000万张，其中有1万张可以中奖，则买一张这种彩票的中奖概率是多少？买1000张的话是否一定会中奖？[解]中奖的概率为11000；不一定中奖，因为买彩票是随机的，每张彩票都可能中奖也可能不中奖．买彩票中奖的概率为11000，是指试验次数相当大，即随着购买彩票的张数的增加，大约有11000的彩票中奖．-4-概率与频率的关系及求法【例2】下面的表中列出了10次抛掷硬币的试验结果，n为每次试验抛掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数．计算每次试验中正面向上的频率，并考查它的概率．试验序号抛掷次数(n)正面向上次数(m)正面向上的频率15002512500249350025645002535500251650024675002448500258950026210500247[思路探究]由表中数据→计算事件频率→观察频率的稳定值→估计概率[解]由频率公式fn(A)＝mn，可分别得出这10次试验中事件正面向上出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506，0．502,0.492,0.488,0.516，0．524,0.494，这些数字在0.5附近摆动，由概率的统计定义可得，正面向上的概率约为0.5.1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率．2．解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．3．下面是某批乒乓球质量检查结果表：抽取球数5010020050010002000优等品数45921944709541902-5-优等品出现的频率(1)在上表中填上优等品出现的频率；(2)估计该批乒乓球优等品的概率是多少？(3)若抽取乒乓球的数量为1700只，则优等品的数量大约为多少？[解](1)如下表所示：抽取球数5010020050010002000优等品数45921944709541902优等品出现的频率0.90.920.970.940.9540.951(2)从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的概率是0.95.(3)由优等品的概率为0.95，则抽取1700只乒乓球时，优等品数量为1700×0.95＝1615.概率的实际应用【例3】甲、乙两人做游戏，规定“同时掷两枚骰子，若出现点数之和为偶数，则甲胜，若出现点数之和为奇数，则乙胜”，乙说“点数之和为2,3,4，…，12，共11种结果，其中偶数有6个，奇数有5个，所以这个游戏是不公平的，甲获胜的可能性要大些”．你认为乙的说法对吗？试说明理由．[思路探究]列出所有结果→计算概率→判断[解]乙的说法是不对的，该游戏是公平的，掷两枚骰子点数之和其实共有36种结果，如表所示：1点2点3点4点5点6点1点2345672点3456783点4567894点56789105点678910116点789101112不难看出点数之和为偶数的结果有18种，点数之和为奇数的结果也有18种，所以出现点数之和为偶数和点数之和为奇数的概率都是12，故游戏是公平的．1．解题关键是理解概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，因此计算概率是本题的核心问题．2．解决此类问题要注意观察分析数据总数和某事件包含的数据个数，有时需要对试验可-6-能出现的结果进行预测．3．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．4．某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况，在学校随机抽取初中部的150名学生登记佩带胸卡的学生名字．结果，150名学生中有60名佩带胸卡．第二次检查，调查了初中部的所有学生，有500名学生佩带胸卡．据此估计该中学初中部一共有多少名学生．[解]设初中部有n名学生，依题意得60150＝500n，解得n＝1250.所以该中学初中部共有学生大约1250名．1．本节课的重点是了解概率的含义，了解频率与概率的区别与联系，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，难点是应用概率的意义解释生活中的实际问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)理解概率的意义．(2)掌握利用频率估计概率的步骤．(3)利用概率思想正确处理和解释实际问题．3．本节课的易错点(1)对概率的理解有误致错．(2)列举基本事件时易漏或重．1．思考辨析(1)概率就是随机事件发生的频率．()(2)随机事件的概率不能为0.()(3)必然事件的概率为1.()(4)在大量实验中频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%.下列解释正确的是()A．100个手术有99个手术成功，有1个手术失败B．这个手术一定成功-7-C．99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术D．这个手术成功的可能性大小是99%D[成功率大约是99%，说明手术成功的可能性大小是99%，故选D．]3．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似值是________．0.03[这一年内汽车挡风玻璃破碎的频率为60020000＝0.03，此频率值为概率的近似值．]4．如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于12，这种理解正确吗？[解]这种理解是不正确的．掷一枚质地均匀的硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的规律，即“正面向上”、“反面向上”的可能性都是12，连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向上和反面向上的可能性还是12，而不会大于12.