2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步章末复习课学案 新人教B版必修2

-1-第2章平面解析几何初步直线方程及其应用【例1】过点A(－5，－4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．[思路探究]已知直线过定点A，且与两坐标轴都相交，围成的直角三角形的面积已知．求直线方程时可采用待定系数法，设出直线方程的点斜式，再由面积为5列方程，求直线的斜率．-2-[解]由题意知，直线l的斜率存在．设直线为y＋4＝k(x＋5)，交x轴于点4k－5，0，交y轴于点(0，5k－4)，S＝12×4k－5×|5k－4|＝5，得25k2－30k＋16＝0(无实根)，或25k2－50k＋16＝0，解得k＝25或k＝85，所以所求直线l的方程为2x－5y－10＝0，或8x－5y＋20＝0.(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单．1．过点P(－1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．[解](1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.令y＝0，分别得x＝－1，x＝－2k.由题意得－1＋2k＝1，即k＝1.则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.直线的位置关系【例2】已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：(1)l1⊥l2；(2)l1∥l2.[思路探究]已知两直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数的取值，可以-3-利用平行(或垂直)的条件列方程求解．[解]法一：当m＝0或2时，两直线既不平行，也不垂直；当m≠0且m≠2时，直线l1，l2的斜率分别为：－1m，2－m3.(1)若l1⊥l2，则－1m·2－m3＝－1，解得m＝12.(2)若l1∥l2，则由－1m＝2－m3，得m＝－1或m＝3.又当m＝3时，l1与l2重合，故m＝3舍去．故l1∥l2时，m＝－1.法二：(1)∵l1⊥l2，∴m－2＋3m＝0，∴m＝12.(2)∵l1∥l2，∴3－m(m－2)＝0且2m≠6(m－2)，故m＝－1.利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分知识常涉及的题型．求解时，可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可用如下方法：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)l1∥l2时，可令A1B2－A2B1＝0，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况；(2)l1⊥l2时，可利用A1A2＋B1B2＝0直接求参数的值．2．已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.(1)求过点A，且和直线l平行的直线方程；(2)求过点A，且和直线l垂直的直线方程．[解](1)因为所求直线与l：3x＋4y－20＝0平行，所以设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0.又因为所求直线过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋m＝0，所以m＝－14，所以所求直线方程为3x＋4y－14＝0.(2)因为所求直线与直线l：3x＋4y－20＝0垂直，所以设所求直线方程为4x－3y＋n＝0.又因为所求直线过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋n＝0，-4-所以n＝－2，所以所求直线方程为4x－3y－2＝0.距离问题【例3】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等．[解](1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.即a2－a－b＝0.①又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝2.(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，∴l1的斜率也存在，ab＝1－a，即b＝a1－a.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a－1)x＋y＋4a－1a＝0，l2：(a－1)x＋y＋a1－a＝0.∵原点到l1与l2的距离相等，∴4a－1a＝a1－a，解得a＝2或a＝23.因此a＝2，b＝－2，或a＝23，b＝2.距离公式的运用1．距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离．2．牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．-5-3．已知正方形中心为点M(－1,0)，一条边所在直线的方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．[解]正方形中心到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1×1＋3×0－5|12＋32＝610.设与直线x＋3y－5＝0平行的直线方程为x＋3y＋C1＝0.由正方形的性质，得|－1＋C1|12＋32＝610，解得C1＝－5(舍去)或C1＝7.所以与直线x＋3y－5＝0相对的边所在的直线方程为x＋3y＋7＝0.设与直线x＋3y－5＝0垂直的边所在的直线方程为3x－y＋C2＝0.由题意，得|－1×3－0×1＋C2|32＋12＝610，解得C2＝9或C2＝－3.所以另两边所在直线的方程为3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0.求圆的方程【例4】求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程．[思路探究]解答本题可利用过两圆交点的圆系方程求解，也可求出两交点坐标，再利用待定系数法求解．[解]法一：设所求圆为x2＋y2－x＋y－2＋λ(x2＋y2－5)＝0，化为一般式，得x2＋y2－11＋λx＋11＋λy－2＋5λ1＋λ＝0.故圆心坐标为121＋λ，－121＋λ，代入直线3x＋4y－1＝0，得λ＝－32.再把λ代入所设方程，得x2＋y2＋2x－2y－11＝0，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－2y－11＝0.法二：解方程组x2＋y2－x＋y－2＝0，x2＋y2＝5，得两圆的交点为A(1，－2)和B(2，－1)．设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵A，B在圆上，且圆心－D2，－E2在直线3x＋4y－1＝0上，-6-∴5＋D－2E＋F＝0，5＋2D－E＋F＝0，3·－D2＋4·－E2－1＝0.解得D＝2，E＝－2，F＝－11.∴所求圆的方程是x2＋y2＋2x－2y－11＝0.求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答．过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．4．圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程．[解]设所求圆的标准方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r＞0)．因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足x0－y0＝0或x0＋y0＝0.又圆心在直线5x－3y＝8上，所以5x0－3y0＝8.由x0－y0＝0，5x0－3y0＝8，得x0＝4，y0＝4，由x0＋y0＝0，5x0－3y0＝8，得x0＝1，y0＝－1，所以圆心坐标为(4,4)或(1，－1)，相应的半径为r＝4或r＝1，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.直线与圆、圆与圆的位置关系【例5】已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝23，求直线l的方程．[思路探究]分斜率存在与不存在两种情况：(1)斜率存在⇒设直线l的方程⇒利用勾股定理⇒求k⇒直线方程-7-(2)斜率不存在⇒验证[解](1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.示意图如图，作MC⊥AB于C.在Rt△MBC中，|BC|＝12|AB|＝3，|MB|＝2，故|MC|＝|MB|2－|BC|2＝1，由点到直线的距离公式得|k－1＋3－2k|k2＋1＝1，解得k＝34.故直线l的方程为3x－4y＋6＝0.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，且|AB|＝23，所以符合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.1．直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．2．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．5．求圆O：x2＋y2＝36与圆M：x2＋y2－10y＋16＝0的公切线的方程．[解]如图，易知两圆相交，公切线有两条．-8-由圆M的方程易得M(0,5)，r＝3.设两圆的公切线与圆O相切于点B(x0，y0)，则公切线方程为x0x＋y0y＝36.∵点M到公切线的距离等于3，∴|x0·0＋5·y0－36|x20＋y20＝3.∵x20＋y20＝36，点M在公切线的下方，∴－(5y0－36)＝18，即y0＝185.从而x0＝±36－y20＝±245.故公切线方程为245x＋185y－36＝0或－245x＋185y－36＝0，即4x＋3y－30＝0或4x－3y＋30＝0.轨迹问题【例6】如图，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN，(M，N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．[思路探究]由△PMO1与△PNO2均为直角三角形表示出切线长|PM|与|PN|，建立坐标系后，设出P点坐标即可由等式|PM|＝2|PN|求出P点的轨迹方程．[解]如图，以O1，O2所在直线为x轴，线段|O1O2|的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)．在Rt△PMO1中，|PM|2＝|PO1|2－1，在Rt△PNO2中，|PN|2＝|PO2|2－1.又因为|PM|＝2|PN|，所以|PM|2＝2|PN|2，即-9-|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)，即|PO1|2＋1＝2|PO2|2，所以(x＋2)2＋y2＋1＝2[(x－2)2＋y2]，整理得x2＋y2－12x＋3＝0，即为所求点P的轨迹方程．1．求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类问题常用的方法有：直接法、定义法、消元法、代数法等．2．求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的轨迹条件；(3)把轨迹条件坐标化；(4)化简整理；(5)检验．在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分．6．等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．[解]设另一端点C的坐标为(x，y).依题意，得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，得x－42＋y－22＝4－32＋2－52，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.这是以点A(4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线．即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点．因为点B、C