2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1.1.7 柱、锥、台和球的体积学案 新人教B

-1-1.1.7柱、锥、台和球的体积学习目标核心素养1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式．(重点)2．能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积．(重点)3．台体的体积及简单几何体的体积计算．(难点)1.通过学习柱、锥、台和球的体积公式，培养学生的数学运算核心素养．2．借助组合体的体积，提升直观想象的核心素养.1．祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．2．柱体、锥体、台体和球的体积公式其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱πr2h锥体棱锥13Sh圆锥13πr2h台体棱台13h(S＋SS′＋S′)圆台13πh(r2＋rr′＋r′2)球43πR31．若长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，则长方体的体积为()A．27cm3B．60cm3-2-C．64cm3D．125cm3B[长方体的体积为3×4×5＝60(cm3)．]2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为()A．15πB．30C．12πD．36πC[圆锥的高h＝52－32＝4，故V＝13π×32×4＝12π.]3．若一个球的直径是12cm，则它的体积为________cm3.288π[由题意，知球的半径R＝6cm，故其体积V＝43πR3＝43×π×63＝288π(cm3)．]求柱体的体积【例1】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6cm，高为3cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4cm，高为2cm，现从中间挖去一个直径为2cm的圆柱，求此几何体的体积．[解]V六棱柱＝34×42×6×2＝483(cm3)，V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，∴此几何体的体积：V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(483＋22π)(cm3)．计算柱体体积的关键及常用技巧1．计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高．2．常用技巧：(1)充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高．-3-(2)由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积．1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．[解]设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，则有a2＝πr2，2πrh＝4a2，①②由①得r＝ππa，由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝πr2h＝2ππa3，∴V正方体∶V圆柱＝a3∶2ππa3＝π2∶1＝π∶2.求锥体的体积【例2】如图三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．[思路探究]AB∶A1B1＝1∶2―→S△ABC∶S△A1B1C1―→计算VA1－ABC―→计算VC－A1B1C1―→计算VB－A1B1C[解]设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1－ABC＝13S△ABC·h＝13Sh，VC－A1B1C1＝13S△A1B1C1·h＝43Sh.又V台＝13h(S＋4S＋2S)＝73Sh，-4-∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝73Sh－Sh3－4Sh3＝23Sh，∴体积比为1∶2∶4.三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．2．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ADC的体积是()A．16B．13C．12D．1A[三棱锥D1­ADC的体积V＝13S△ADC×D1D＝13×12×AD×DC×D1D＝13×12＝16.]求台体的体积【例3】已知正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面积是780cm2.求正四棱台的体积．[思路探究]可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．[解]如图所示，正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．由S侧＝4×12(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，-5-在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝12A1B1＝5，OE＝12AB＝10，∴O1O＝E1E2－OE－O1E12＝12，V正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．故正四棱台的体积为2800cm3.求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．3．本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2cm和4cm，侧棱长为2cm，求该棱台的体积．”[解]如图，正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2cm和4cm，则O1B1＝2cm，OB＝22cm，过点B1作B1M⊥OB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在Rt△BMB1中，BB1＝2cm，MB＝(22－2)＝2(cm)．根据勾股定理MB1＝BB21－MB2＝22－22＝2(cm)．S上＝22＝4(cm2)，S下＝42＝16(cm2)，∴V正四棱台＝13×2×(4＋4×16＋16)＝13×2×28＝2832(cm3)．-6-求球的体积【例4】过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的体积和表面积．[思路探究]解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形．[解]如图，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′.∵AB＝BC＝CA＝3(cm)，∴O′为正三角形ABC的中心，∴AO′＝33AB＝3(cm)．设OA＝R，则OO′＝12R，∵OO′⊥截面ABC，∴OO′⊥AO′，∴AO′＝32R＝3(cm)，∴R＝2(cm)，∴V球＝43πR3＝323π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)．即球的体积为323πcm3，表面积为16πcm2.球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．4．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的-7-()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍C[半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为43π×(3x)3，其余两个球的体积之和为43πx3＋43π×(2x)3，∴43π×(3x)3÷43πx3＋43π×2x3＝3.]组合体的表面积和体积【例5】已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为()A．24－3π2B．24－π3C．24－πD．24－π2[思路探究]解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．A[该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3×2×4－3×12×π×12＝24－3π2.]求组合体的表面积与体积的方法1．分析结构特征．弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．2．根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理．利用“切割”、“补形”的方法求体积．3．根据设计的计算方法求值．-8-5．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20πB．24πC．28πD．32πC[由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝22＋232＝4，S表＝πr2＋ch＋12cl＝4π＋16π＋8π＝28π.]1．本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体和球的体积的求法，难点是组合体的表面积．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求空间几何体的体积的方法．(2)求与组合体有关的体积的方法．3．本节课的易错点是求与三视图有关的几何体的体积时，易把相关数据弄错.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．()(2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关．()(3)由V锥体＝13S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面．()[答案](1)×(2)√(3)√2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()A．πB．2πC．4πD．8πB[设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧＝πa·a＝πa2.又∵S侧＝4π，∴a＝2.∴V圆柱＝π×2＝2π.]3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.-9-3[由已知得4π＝13πr2×4，解得r＝3.]4．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥体积．[解]如图所示，正三棱锥S­ABC.设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形，∴AE＝32×6＝33.∴AH＝23AE＝23.在△ABC中，S△ABC＝12BC·AE＝12×6×33＝93.在Rt△SHA中，SA＝15，AH＝23，∴SH＝SA2－AH2＝15－12＝3.∴V正三棱锥＝13S△ABC·SH＝13×93×3＝9.