2019-2020学年高中数学 第1章 空间几何体 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积学案

-1-1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积学习目标核心素养1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法．(重点)2．会求组合体的表面积与体积．(难点、易错点)通过学习并运用柱体、锥体、台体的表面积和体积公式，培养学生数学运算、直观想象、逻辑推理的数学素养.1．表面积公式(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积公式多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积(2)旋转体的表面积旋转体圆柱底面积：S底＝πr2；侧面积：S侧＝2πrl；表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2；侧面积：S侧＝πrl；表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2；下底面面积：S下底＝πr2；侧面积：S侧＝πl(r＋r′)；表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2.体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh．(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝13Sh．(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝13(S′＋S′S＋S)h．-2-思考：简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？[提示]表面积变大了，而体积不变．1．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于()A．72B．42πC．67πD．72πC[S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.]2．一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为__．6π[由底面周长为2π可得底面半径为1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.]3．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________．4[由三视图可判断该几何体为直六棱柱，其底面积为4，高为1，所以体积为4.]柱体、锥体、台体的侧面积与表面积【例1】(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为()A．1＋2π2πB．1＋4π4πC．1＋2ππD．1＋4π2π(2)某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为()-3-A．180B．200C．220D．240(3)已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为________．(1)A(2)D(3)144π[(1)设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.(2)几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4的等腰梯形，所以底面面积为12×(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200.所以四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240.故选D.(3)由题意，得该圆锥的母线长l＝82＋62＝10，∴该圆锥的侧面积为π×8×10＝80π，底面积为π×82＝64π，∴该圆锥的表面积为80π＋64π＝144π.]空间几何体的表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为()A．81πB．100πC．168πD．169πC[圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝h2＋（R－r）2＝（4r）2＋（3r）2＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.]-4-柱体、锥体、台体的体积【例2】(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是()A．64π3B．128π3C．64πD．1282π(2)棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是()A．18＋62B．6＋22C．24D．18(3)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥，则剩余部分的体积为________．思路探究：(1)先由侧面积求出圆锥的底面半径和高，再求体积；(2)直接利用公式求体积即可；(3)正方体的体积减去锥体体积即可．(1)A(2)B(3)56a3[(1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2r＝l2＋l2，即l＝2r，由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝2πr2＝162π，∴r＝4.∴l＝42，高h＝l2－r2＝4.∴圆锥的体积V＝13Sh＝13π×42×4＝643π，故选A.(2)V＝13(S＋SS′＋S′)h＝13×(2＋2×4＋4)×3＝6＋22.故选B.(3)V三棱锥A1­ABD＝13S△ABD·A1A＝13×12a2·a＝16a3.故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1­ABD＝a3－a36＝56a3.]求几何体体积的常用方法：-5-(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．2．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．πr2（a＋b）2[两个同样的该几何体能拼接成一个高为a＋b的圆柱，则拼接成的圆柱的体积V＝πr2(a＋b)，所以所求几何体的体积为πr2（a＋b）2.]简单组合体的表面积、体积【例3】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6cm，高为3cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4cm，高为2cm，现从中间挖去一个直径为2cm的圆柱，求此几何体的体积．[解]V六棱柱＝34×42×6×2＝483(cm3)，V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，∴此几何体的体积：V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(483＋22π)(cm3)．求组合体的表面积与体积的方法：-6-(1)分析结构特征弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．(2)设计计算方法根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理．利用“切割”、“补形”的方法求体积．(3)计算求值．根据设计的计算方法求值.3．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为()A．24－3π2B．24－π3C．24－πD．24－π2A[该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3×2×4－3×12×π×12＝24－3π2.]1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．2．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系-7-(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．1．若长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，则长方体的体积为()A．27cm3B．60cm3C．64cm3D．125cm3B[V＝3×4×5＝60cm3，选B.]2．棱长都是1的三棱锥的表面积为()A．3B．23C．33D．43A[S表＝4S正△＝4×34＝3.]3．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是________．73π3[设上、下底面半径为r′，r，母线长为l，则πr′2＝π，πr2＝4π，π（r′＋r）·l＝6π，所以r′＝1，r＝2，l＝2.圆台的高h＝l2－（r－r′）2＝3，所以V圆台＝13(π＋π·4π＋4π)·3＝73π3.]4．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，求三棱锥D1­EDF的体积．[解]VD1­EDF＝VF­DD1E＝13S△D1DE·AB＝13×12×1×1×1＝16.-8-