2019-2020学年高中数学 第2章 概率 2.2.1 条件概率讲义 新人教B版选修2-3

-1-2.2.1条件概率学习目标：1.了解条件概率的概念.2.掌握求条件概率的两种方法．(难点)3.能利用条件概率公式解一些简单的实际问题．(重点)教材整理条件概率阅读教材P48～P49例1以上部分，完成下列问题．1．两个事件A与B的交(或积)把由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记做D＝A∩B(或D＝AB)．2．条件概率名称定义符号表示计算公式条件概率对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率.P(B|A)P(B|A)＝PA∩BPA，P(A)01．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.()(2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．()(3)P(B|A)≠P(A∩B)．()【答案】(1)×(2)×(3)√2．设A，B为两个事件，且P(A)0，若P(A∩B)＝13，P(A)＝23，则P(B|A)＝()A.12B．29C.19D．49【解析】由P(B|A)＝PA∩BPA＝1323＝12，故选A.【答案】A3．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．-2-【解析】根据条件概率公式知P＝0.40.8＝0.5.【答案】0.5利用定义求条件概率【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B．(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；(2)求P(B|A)．【精彩点拨】首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．【解】由古典概型的概率公式可知(1)P(A)＝25，P(B)＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P(A∩B)＝2×15×4＝110.(2)P(B|A)＝PA∩BPA＝11025＝14.1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(A∩B)；(3)代入公式求P(B|A)＝PA∩BPA.2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．1．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.-3-【解析】由公式P(A|B)＝PA∩BPB＝23，P(B|A)＝PA∩BPA＝35.【答案】2335利用基本事件个数求条件概率【例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．【精彩点拨】第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．【解】设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B．(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A26＝30，根据分步计数原理n(A)＝A14A15＝20，于是P(A)＝nAnΩ＝2030＝23.(2)因为n(A∩B)＝A24＝12，于是P(A∩B)＝nA∩BnΩ＝1230＝25.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝PA∩BPA＝2523＝35.法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝nA∩BnA＝1220＝35.1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．-4-(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝PA∩BPA计算求得P(B|A)．(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件A∩B发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件A∩B发生的概率，即P(B|A)＝nA∩BnA＝nA∩BnΩnAnΩ＝PA∩BPA.2．本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．【解】设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到语言类节目为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件A∩C.n(A)＝A14×A15＝20，n(A∩C)＝A14×A12＝8，∴P(C|A)＝nA∩CnA＝820＝25.条件概率的综合应用[探究问题]1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？【提示】掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？【提示】“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？并求出此概率．【提示】设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为B∪C|A.∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝16＋16＝13.【例3】一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：-5-(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是________；(2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________．【精彩点拨】先求的基本函数的概率，再依据条件概率的计算公式计算．【解析】(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是811200＝27400.(2)法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是25500＝120.法二：设A＝“取出的产品是甲厂生产的”，B＝“取出的产品为甲厂的次品”，则P(A)＝5001200，P(A∩B)＝251200，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P(B|A)＝PA∩BPA＝120.【答案】(1)27400(2)120条件概率的解题策略分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．3．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．【解】设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(A∩C)＋P(B∩C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)-6-＝5100×100200＋0.25100×100200＝21800.(2)P(A|C)＝PA∩CPC＝520021800＝2021.1．已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，则P(A∩B)等于()A.56B．910C.215D．115【解析】由P(B|A)＝PA∩BPA，得P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝13×25＝215.【答案】C2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是()A.14B．13C.12D．1【解析】因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是13.【答案】B3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.【解析】∵P(A∩B)＝14，P(A)＝12，∴P(B|A)＝12.【答案】124．抛掷骰子2次，每次结果用(x1，x2)表示，其中x1，x2分别表示第一次、第二次骰子的-7-点数．若设A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝10}，B＝{(x1，x2)|x1x2}，则P(B|A)＝________.【解析】∵P(A)＝336＝112，P(A∩B)＝136，∴P(B|A)＝PA∩BPA＝136112＝13.【答案】135．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？【解】(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P(A)＝12，P(A∩B)＝2×14×3＝16，所以P(B|A)＝1612＝13.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，P(A1)＝12，P(A1∩B1)＝2×24×4＝14，所以P(B1|A1)＝PA1∩B1PA1＝1412＝12.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.