2019-2020学年高中数学 第2章 参数方程 2.4 一些常见曲线的参数方程讲义 新人教B版选修

-1-2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程学习目标：1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程．(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程．(难点)1．摆线(1)定义一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M的轨迹称为摆线．(2)参数方程x＝at－sinty＝a1－cost(t是参数)．2．圆的渐开线(1)定义把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆．(2)参数方程x＝acost＋tsinty＝asint－tcost(t是参数)．思考：圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t的几何意义是什么？[提示]根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a是指基圆的半径，而参数t是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度，如图，其中的∠AOB即是角t.显然点M由参数t惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a是指定圆的半径，参数t是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．-2-1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A．只有圆才有渐开线B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C．正方形也可以有渐开线D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同[解析]不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．[答案]C2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A．πB．2πC．12πD．14π[解析]根据条件可知圆的摆线的参数方程为x＝3t－3sinty＝3－3cost(t为参数)，把y＝0代入可得cost＝1，所以t＝2kπ(k∈Z)．而x＝3t－3sint＝6kπ(k∈Z)．根据选项可知应选C.[答案]C3．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________．[解析]将a＝4代入圆的渐开线方程即可．[答案]x＝4cost＋tsinty＝4sint－tcost4．给出某渐开线的参数方程x＝3cost＋3tsinty＝3sint－3tcost(t为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是______，当参数t取π2时，对应的曲线上的点的坐标是________．[解析]与渐开线的参数方程进行对照可知，a＝3，即基圆半径是3，然后把t＝π2代入，可得x＝3π2，y＝3.[答案](3π2，3)-3-求圆的摆线的参数方程【例1】已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．[思路探究]根据圆的摆线的参数方程x＝at－sinty＝a1－cost(t为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出a的表达式，根据表达式求出a的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．[解]令y＝0，可得a(1－cost)＝0，由于a0，即得cost＝1，所以t＝2kπ(k∈Z)．代入x＝a(t－sint)，得x＝a(2kπ－sin2kπ)．又因为x＝2，所以a(2kπ－sin2kπ)＝2，即得a＝1kπ(k∈Z)．又由实际可知a0，所以a＝1kπ(k∈N＋)．易知，当k＝1时，a取最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程为x＝1πt－sinty＝1π1－cost(t为参数)；圆的渐开线的参数方程为x＝1πcost＋tsinty＝1πsint－tcost(t为参数)．求圆的渐开线的参数方程【例2】有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22mm，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．[思路探究]直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可．[解]因为基圆的直径为22mm，所以基圆的半径为11mm，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为x＝11cost＋tsinty＝11sint－tcost.-4-圆的渐开线的参数方程的应用【例3】当t＝π4，π2时，求出渐开线x＝cost＋tsinty＝sint－tcost上的对应点A，B，并求出A，B的距离．[思路探究]把t＝π4，π2分别代入参数方程即可求出相应两点的坐标，从而进一步求出两点间的距离．[解]把t＝π4，π2分别代入参数方程得x＝221＋π4y＝221－π4和x＝π2，y＝1，即A、B两点坐标分别为(22(1＋π4)，22(1－π4))，(π2，1)，∴|AB|＝[221＋π4－π2]2＋[221－π4－1]2＝145－22π2－42π＋32－162.