2019-2020学年高中数学 第1章 坐标系章末复习课讲义 新人教B版选修4-4

-1-第1章坐标系平面直角坐标系下图形的变换平面图形的伸缩变换可由坐标伸缩变换来实现，在使用坐标变换公式X＝axa0Y＝byb0时，一定要分清变换前后的新旧坐标．【例1】在平面直角坐标系中，已知伸缩变换：X＝3x，2Y＝y.求直线l：y＝6x经过变换后所得直线l′的方程．[思路探究]由伸缩变换公式，用X，Y表示x，y，并代入变换前方程，求得X，Y间的关系．[解]设P′(X，Y)是直线l′上任意一点．由伸缩变换φ：X＝3x2Y＝y，得x＝X3，y＝2Y，代入y＝6x，得2Y＝6·X3＝2X，∴Y＝X为所求直线l′的方程．因此变换后直线l′的方程为x－y＝0.-2-求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标ρ，θ的关系式f(ρ，θ)表示出来，就得到曲线的极坐标方程．【例2】圆心为C(3，π6)，半径为3的圆的极坐标方程是什么？[思路探究]在圆C上任取一点M(ρ，θ)，建立ρ与θ的等量关系．[解]如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，则|OP|＝ρ，∠POA＝|θ－π6|，|OA|＝2×3＝6.在Rt△POA中，|OP|＝|OA|cos∠POA，则ρ＝6cos(θ－π6)，即圆的极坐标方程为ρ＝6cos(θ－π6)．【例3】已知定点A(a,0)，动点P对极点O和点A的张角∠OPA＝π3.在OP的延长线上取点Q，使|PQ|＝|PA|.当P在极轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程．[思路探究]求极坐标方程，往往是构造三角形，利用三角形的边角关系，或余弦定理列出关系式．[解]设Q，P的坐标分别是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，则θ＝θ1.在△POA中，ρ1＝asinπ3·sin(2π3－θ)，|PA|＝asinθsinπ3.又|OQ|＝|OP|＋|PA|，∴ρ＝2acos(π3－θ)．-3-极坐标与直角坐标的互化极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系．同一个点可以有极坐标，也可以有直角坐标；同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程．为了研究问题的方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程．它们之间的互化关系为：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)．【例4】⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．[解]以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程，同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．(2)由x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋4y＝0.解得x1＝0，y1＝0或x2＝2，y2＝－2.即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)，故过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.转化与化归思想转化与化归思想，是运用数学知识的迁移解决问题．具体表现为化未知为已知，化抽象为具体，化一般为特殊．如本章中直角坐标与极坐标，直角坐标方程与极坐标方程，都是这种思想的体现．当ρ≥0,0≤θ2π时，极坐标方程与直角坐标方程的相互转化就是等价转化．【例5】已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsinθ－π3＝6，(1)化C1、C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；(2)求C1、C2交点间的距离．[解](1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，-4-∴x2＋y2＝100，所以C1为圆心在(0,0)，半径等于10的圆．由C2：ρsinθ－π3＝6，得ρ12sinθ－32cosθ＝6.∴y－3x＝12，即3x－y＋12＝0.所以C2表示直线．(2)由于圆心(0,0)到直线3x－y＋12＝0的距离为d＝1232＋－12＝6r＝10，所以直线C2被圆截得的弦长为2r2－d2＝2102－62＝16.