2019-2020学年高中数学 第1章 坐标系 1.5 柱坐标系和球坐标系讲义 新人教B版选修4-4

-1-1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系学习目标：1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式．(难点)1．柱坐标系(1)柱坐标设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，M点在xOy坐标面上的投影点为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，如图1­5­1所示，则三个有序数ρ，θ，z构成的数组(ρ，θ，z)称为空间中点M的柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ2π，z为任意实数．(2)空间直角坐标与柱坐标的变换公式空间点M(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为x＝ρcosθy＝ρsinθz＝z.2．球坐标系(1)球坐标设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连接OM和OM0.-2-如图所示，设z轴的正向与向量OM→的夹角为φ，x轴的正向与OM0→的夹角为θ，M点到原点O的距离为r，则由三个数r，θ，φ构成的有序数组(r，θ，φ)称为空间中点M的球坐标．若设投影点M0在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，则极坐标θ就是上述的第二个球坐标θ.在球坐标中限定r≥0,0≤θ2π，0≤φ≤π.(2)空间直角坐标与球坐标的变换公式空间点M(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的变换公式为x＝rsinφcosθy＝rsinφsinθz＝rcosφ.思考1：要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？[提示]空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离．思考2：在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r＝1分别表示空间中的什么曲面？[提示]柱坐标系中，ρ＝1表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r＝1表示球心在原点的单位球面．1．在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为(2，π4，3)，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为()A．(2,0,3)B．(2，π4，0)C．(2，π4，3)D．(2，π4，0)[解析]由点的空间柱坐标的意义可知，选B.[答案]B2．已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为()A．(1,1,0)B．(1,0,1)C．(0,1,1)D．(1,1,1)[解析]x＝ρ·cosθ＝1cosθ＝1，y＝ρsinθ＝0，z＝1.[答案]B3．设点M的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是()A．(2，π3，3)B．(2，2π3，3)C．(2，4π3，3)D．(2，5π3，3)[解析]∵ρ＝－12＋－32＝2，-3-tanθ＝－3－1＝3，∴θ＝π3或43π.又∵M的直角坐标中x＝－1，y＝－3，∴排除θ＝π3，∴θ＝43π.∴M的柱坐标为(2，4π3，3)．[答案]C4．设点M的直角坐标为(－1，－1,0)，则它的球坐标为()A．(2，π4，0)B．(2，5π4，π2)C．(2，5π4，0)D．(2,0，π4)[解析]由坐标变换公式，得r＝x2＋y2＋z2＝2，cosφ＝zr＝0，∴φ＝π2.∵tanθ＝yx＝1，∴θ＝54π.[答案]B点的柱坐标与直角坐标互化【例1】设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标．[思路探究]已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z.求出ρ，θ即可．[解]设M的柱坐标为(ρ，θ，z)，则有1＝ρcosθ，1＝ρsinθ，z＝1，解之得，ρ＝2，θ＝π4.-4-因此，点M的柱坐标为(2，π4，1)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)代入变换公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z.求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝yx，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)(2，5π6，3)；(2)(2，π4，5)．[解]设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(ρ，θ，z)＝(2，5π6，3)，∴x＝ρcosθ＝2cos5π6＝－3，y＝ρsinθ＝2sin5π6＝1，z＝3，因此所求点的直角坐标为(－3，1,3)．(2)∵(ρ，θ，z)＝(2，π4，5)，∴x＝ρcosθ＝2cosπ4＝1，y＝ρsinθ＝2sinπ4＝1，z＝5.故所求点的直角坐标为(1,1,5)．将点的球坐标化为直角坐标【例2】已知点M的球坐标为(2，34π，34π)，求它的直角坐标．-5-[思路探究]球坐标―――――――――――――――――→x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ＝3.[答案]3