2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.3 空间的角的计算讲义 苏教版选

-1-3.2.3空间的角的计算学习目标核心素养1.理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)2.二面角的求法．(难点)3.空间三种角的范围．(易错点)1.通过求平面的法向量，培养数学运算素养．2.借助空间角的求解，提升逻辑推理素养.空间角的向量求法(1)两条异面直线所成角的向量求法若异面直线l1，l2的方向向量分别为a，b，l1，l2所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|.(2)直线和平面所成角的向量求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为θ1，l与α所成的角为θ2，则sinθ2＝|cos_θ1|＝|a·n||a||n|.(1)(2)(3)二面角的向量求法设二面角α­l­β的大小为θ，α，β的法向量分别为n1，n2，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|，θ取锐角还是钝角由图形确定．思考：(1)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？(2)二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？[提示](1)设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所-2-成的角为θ，则θ＝π2－〈a，n〉，〈a，n〉∈0，π2，〈a，n〉－π2，〈a，n〉∈π2，π.(2)条件平面α，β的法向量分别为u，υ，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，υ〉＝φ，图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cosθ＝cosφcosθ＝－cosφ1．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－32，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．150°D．120°B[设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝32，∴θ＝60°，应选B.]2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________．30°[由题意得，直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.]3．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为________．510[如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，C1(1,1,3)．-3-∴AC→＝(1,1,0)，BC1→＝(0,1,3)，cos〈AC→，BC1→〉＝AC→·BC1→|AC→||BC1→|.