2019-2020学年高中数学 第2章 函数 1 生活中的变量关系 2 对函数的进一步认识 2.2

-1-2.2函数的表示法学习目标核心素养1.掌握函数的三种表示方法．(重点)2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)3．了解简单的分段函数，并能简单应用．(重点、难点)1.通过应用函数的表示方法提升数学抽象素养．2．通过分段函数的简单应用提升数学运算素养.1．函数的表示法阅读教材P28～P29“例2”以上内容，完成下列问题．函数的三种表示方法表示法定义解析法用自变量的解析表达式表示两个变量之间的对应关系图像法用图像表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系思考1：函数的三种表示方法各有什么优、缺点？[提示]三种表示方法的优、缺点比较：优点缺点解析法①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值一般只能表示部分自变量的函数值-2-图像法直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大思考2：任何一个函数是不是都可以用解析法、列表法、图像法三种形式来表示．[提示]并不是所有的函数都可以用解析式表示，例如人的心跳强度与时间的函数关系．图像法也不适用于所有函数，例如D(x)＝0，x∈Q，1，x∈∁RQ，对于函数值有无限个的情况，无法用列表法表示．2．分段函数阅读教材P29“例2”～P31，完成下列问题．在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数．思考3：如何求分段函数的值域？[提示]先求出每一段中函数值的取值范围，再求其并集．1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝()x1≤x222x≤4f(x)123A.1B．2C．3D．不存在C[因为3∈(2,4]，所以f(3)＝3.]2．函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域是______，值域是______．-3-[－1,2)(－1,1][观察图像，得f(x)的定义域为：[－1，2)．值域为：(－1,1]．]3．已知f(x)是一次函数，且其图像过点A(－2,0)，B(1,5)，则f(x)的解析式为________．f(x)＝53x＋103[设f(x)＝kx＋b，依题意，得－2k＋b＝0，k＋b＝5，解得k＝53，b＝103，所以，f(x)＝53x＋103.]4．函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)131x123g(x)321则f(g(2))的值为________．3[因为g(2)＝2，f(2)＝3，所以f(g(2))＝3.]函数图像的作法【例1】作出下列函数的图像并求出其值域．(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．[解](1)列表：-4-x0121322y12345当x∈[0,2]时，图像是直线的一部分，观察图像可知，其值域为[1,5]．(2)列表：x2345…y1231225当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝2x的一部分，观察图像可知其值域为(0,1]．(3)列表：x－2－1012-5-y0－1038画图像，图像是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1,8]．1．作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图像．2．函数的图像可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图像与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点．1．作出下列函数的图像．(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x1，或x－1)．[解](1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图像如图①.(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x1，或x－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线．如图②.-6-求函数的解析式【例2】(1)若f(x＋1)＝x2＋x，则f(x)＝________.(2)若f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.(3)已知函数y＝f(x)满足2f(x)＋f1x＝2x(x∈R且x≠0)，则f(x)＝________.(1)x2－x(2)2x－13或－2x＋1(3)43x－23x[(1)因为x∈R，所以令t＝x＋1∈R，则x＝t－1，代入f(x＋1)＝x2＋x，得f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＝t2－t，t∈R，即f(x)＝x2－x.(2)由f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x－1，所以a2＝4，ab＋b＝－1，解得a＝2，b＝－13或a＝－2，b＝1.所以f(x)＝2x－13或f(x)＝－2x＋1.(3)由2f(x)＋f1x＝2x，①将x换成1x，则1x换成x，得2f1x＋f(x)＝2x，②①×2－②，得3f(x)＝4x－2x，所以f(x)＝43x－23x.]求函数解析式的常用方法-7-待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程组，通过解方程组求出待定系数，进而求出函数解析式.换元法有时可用“配凑法：已知函数f[gx的解析式求fx的解析式，可用换元法或“配凑法，即令gx＝t，反解出x，然后代入f[gx中求出ft，从而求出fx消元法或解方程组法：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法或解方程组法2．(1)设函数g(x)＝2x－1，则g(x＋2)＝()A．2x＋1B．2x－1C．2x＋3D．2x－3(2)设f(x)＝2x－3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)＝()A．2x＋1B．2x＋3C．2x－7D．2x－3(1)C(2)C[(1)因为g(x)＝2x－1，所以g(x＋2)＝2(x＋2)－1＝2x＋3.(2)g(x＋2)＝f(x)＝2x－3，令t＝x＋2，则x＝t－2.所以g(t)＝2(t－2)－3＝2t－7，即g(x)＝2x－7.]分段函数及应用[探究问题]1．已知函数f(x)＝3|x－1|－2.(1)把函数f(x)写成分段的形式；(2)画出函数f(x)的图像；(3)观察f(x)的图像，它是轴对称图形吗？若是，它的对称轴是什么？(4)如何由函数g(x)＝3|x|的图像得到f(x)＝3|x－1|－2的图像？提示：(1)f(x)＝3x－5，x≥1，－3x＋1，x1.(2)分段画函数图像：-8-(3)f(x)的图像是轴对称图形，其对称轴为直线x＝1.(4)把函数y＝3|x|的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度可得到函数y＝3|x－1|－2的图像．2．设函数f(x)＝－x，x≤0，x2，x0.(1)求f－12与f12；(2)若f(x0)＝4，求实数x0的值．提示：(1)f－12＝－－12＝12，f12＝122＝14.(2)由f(x0)＝4，得x0≤0，－x0＝4或x00，x20＝4，解得x0＝－4或2.3．对于探究2中的函数，探究以下问题．(1)若f(x)≤14，求x的取值范围；(2)求函数f(x)的值域．提示：(1)由f(x)≤14，得x≤0，－x≤14或x0，x2≤14，解得－14≤x≤0，或0x≤12，所以，x的取值范围是－14，12.(2)当x≤0时，f(x)≥0；当x0时，f(x)0，所以，f(x)的值域为[0，＋∞)∪(0，＋∞)＝[0，＋∞)．【例3】已知f(x)＝x＋4，x≤0，x2－2x，0x≤4，－x＋2，x4.-9-(1)求f{f[f(5)]}的值；(2)画出该函数的图像；(3)根据所画图像，写出函数的定义域，值域．[思路探究](1)从里向外依次求值，每一次求值时，应先判断自变量的取值属于哪一段，再利用该段的解析式求值；(2)分段画函数图像；(3)观察函数图像写出定义域，值域．[解](1)f{f[f(5)]}＝f[f(－3)]＝f(1)＝－1.(2)(3)定义域为(－∞，0]∪(0,4]∪(4，＋∞)＝R，值域为(－∞，4]∪[－1,8]∪(－∞，－2)＝R.1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．2．多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．3．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．4．研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图像时，可先将各段的图像分别画出来，再将它们连在一起得到整个函数的图像．3．(1)函数f(x)＝x－2，x2，fx－1x≥2，则f(2)＝()A．－1B．0C．1D．2(2)已知f(x)＝x＋2，x≥－2，－x－2，x－2.若f(x)2，求x的取值范围．(1)A[f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1.](2)解：当x≥－2时，f(x)＝x＋2，由f(x)2，得x＋22，解得x0，故x0；-10-当x－2时，f(x)＝－x－2，由f(x)2，得－x－22，解得x－4，故x－4.综上可得：x0或x－4.1．函数三种表示法的优缺点2．理解分段函数应注意的问题(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图像时，可先将各段的图像分别画出来，从而得到整个函数的图像．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等.1．思考辨析(1)任何一个函数都可以用解析法表示．()(2)y＝x2x是分段函数．()(3)函数y＝x，x≥0－x，x0的值域是[0，＋∞)．()[答案](1)×(2)×(3)√2．已知f(x2－1)＝x4－x2＋1，则f(x)＝________.x2＋x＋1(x≥－1)[因为f(x2－1)＝x4－x2＋1＝(x2－1)2＋(x2－1)＋1，所以f(x)＝x2＋x＋1(x≥－1)．]3．如图，函数f(x)的图像是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f1f3的值等于________．-11-2[由函数f(x)图像，知f(1)＝2，f(3)＝1，∴f1f3＝f(1)＝2.]4．已知函数y＝|x－1|＋|x＋2|.(1)作出函数的图像；(2)写出函数的值域；(3)判断方程|x－1|＋|x＋2|＝4有多少个实数解？[解](1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x＝1，第二个绝对值的分段点x＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)．所以已知函数可写成分段函数形式：y＝|x－1|＋|x＋2|＝－2x－1x≤－232＜x≤12x＋1x＞1.在相应的x取值范围内，分别作出相应函数的图像，如图所示，即为所求函数的图像．(2)根据函数的图像可知：值域为[3，＋∞)．(3)由于直线y＝4与函数y＝|x－1|＋|x＋2|的图像有2个交点，所以，方程|x－1|＋|x＋2|＝4有2个实数解．