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-1-§1集合的含义与表示学习目标核心素养1.了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系．(重点)2.理解并掌握集合中元素的三个特性．(重点)3.掌握集合的表示方法及几个常见数集的表示符号．(重点、难点)1.通过集合与元素的概念的学习，培养数学抽象素养.2.通过元素与集合间的关系的研究，培养数学运算素养.1．集合与元素的概念阅读教材P3“一般地”自然段及以上内容，完成下列问题．(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，d，…表示集合中的元素．思考1：(1)某班所有的“大个子”能否构成一个集合？(2)某班身高高于170cm的所有学生能否构成一个集合？[提示](1)不能构成一个集合，因为“大个子”无明确的标准．(2)能构成一个集合，因为标准确定．2．元素与集合的关系阅读教材P3～P4从“给定一个集合A”开始至“π∈R等”之间的内容，完成下列问题．(1)元素与集合的关系关系概念记作读作属于若a在集合A中，就说a属于集合Aa∈Aa属于A不属于若a不在集合A中，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于A(2)常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋或N*ZQR-2-3.集合的表示法阅读教材P4“集合的常用表示法”至P5“一般地”以上内容，回答下列问题．(1)集合的表示法①列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内的方法．符号表示为{，…，}．②描述法用确定的条件表示某些对象属于一个集合，并写在大括号内的方法叫作描述法．描述法的格式(2)元素的特性元素的三个特性是指确定性，互异性，无序性．思考2：(1)构成单词“bee”的所有字母组成的集合有多少个元素？(2)你会区分数集与点集吗？如集合A＝{x|0x1}，B＝{(x，y)|y＝2x－1}，哪个是数集？哪个是点集？[提示](1)2个．(2)若一个集合中所有元素均是数，则这个集合称为数集．同样，若一个集合中所有元素均是点，这个集合称为点集，集合A的代表元素是x，x是大于0且小于1的实数，故A是数集；集合B的代表元素是有序实数对(x，y)，(x，y)是一次函数y＝2x－1图像上的点，故B是点集．因此，形如{x|x满足的条件，x∈R}的集合是数集；形如{(x，y)|x，y满足的条件，x，y∈R}的集合是点集．4．集合的分类阅读教材P5从“一般地”到“练习”上方的内容，完成下列问题．集合非空集合有限集：含有有限个元素的集合.无限集：含有无限个元素的集合.空集：不含有任何元素的集合，用∅表示.[基础自测]1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是()A．3.14B．－5C.37D．7[答案]D2．给出以下三个关系：①∅＝{0}；②0∈{(0,0)}；③0∈{0}．其中表述正确的是()-3-A．①③B．②③C．③D．①②③[答案]C3．集合{x∈N*|x2－1＝0}用列举法可表示为________．{1}[由x2－1＝0，得x＝±1.又x∈N*，则x＝1.故集合{x∈N*|x2－1＝0}用列举法可表示为{1}．]4．若1∈{x，x2}，则x＝________.－1[由1∈{x，x2}，得x＝1，或x2＝1，即x＝±1.当x＝1时，集合{x，x2}中的元素不具有互异性，故舍去．所以x＝－1.]集合的含义【例1】下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有“帅男”；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)3的近似值的全体．[解](1)“帅男”没有明确的标准，因此不能构成集合；(2)任给一个实数x，可以明确地判断是否为“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x20或x0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值”不能构成集合．判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素1．下列各组对象可以组成集合的是()A．数学必修1课本中所有的难题B．小于8的所有素数-4-C．直角坐标平面内坐标轴上的一些点D．所有小的正数B[A中的“难题”，C中的“一些点”，D中的“小的正数”都没有明确的标准，因此，都不能组成集合，而B中小于8的素数是明确的，故选B.]集合的表示方法【例2】用适当的方法表示下列集合：(1)所有正奇数组成的集合；(2)方程x2－2＝0的解集；(3)在自然数集中，小于100的偶数组成的集合；(4)在平面直角坐标系内，所有第二象限的点组成的集合．[解](1){x|x＝2n＋1，n∈N}；(2){－2，2}；(3){x|x＝2n，n50，且n∈N}；(4){(x，y)|x0，且y0}．1．用列举法表示集合的适用条件：(1)集合中的元素较少，能够一一列举出来时，适合用列举法；(2)集合中的元素较多，但呈现一定的规律性时，可通过列举部分元素作为代表，其他元素用省略号表示．2．用描述法表示集合应注意：(1)弄清元素的形式，比如是数，还是点；(2)元素具有怎样的属性．2．用适当的方法表示下列集合：(1)小于20的所有质数组成的集合；(2)大于－3且小于1的所有有理数组成的集合；(3)方程(x－1)(x2－1)＝0的解集；(4)二次函数y＝x2－9图像上的所有点组成的集合．[解](1){2,3,5,7,11,13,17,19}；(2){x∈Q|－3x1}；(3){－1,1}；(4){(x，y)|y＝x2－9}．-5-元素与集合的关系[探究问题]1．－3∈{x|x＝2n－1，n∈Z}吗？提示：由2n－1＝－3，得n＝－1，故－3∈{x|x＝2n－1，n∈Z}．2．当3∈{x|2x－1a}时，求a的取值范围；当3∉{x|2x－1a}时，a的取值范围又是什么呢？提示：当3∈{x|2x－1a}时，a2×3－1，所以a5；当3∉{x|2x－1a}时，a≥2×3－1，所以a≥5.已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．[思路探究]从元素与集合的关系入手，求出a的值后，要注意验证集合的元素是否满足互异性．－1[若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1.]1．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？[解]因为集合A中含有两个元素a和a2，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.2．(变条件)若将本例中的“1∈A”改为“2∈A”，则a为何值？[解]因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝±2.3．(变条件)若由a和a2构成的集合只有一个元素，则a为何值？[解]因为由a和a2构成的集合只有一个元素，所以a＝a2，即a＝0或a＝1.由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤-6-1．研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．这是判断能否构成集合的依据．2．集合中元素的三个特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，即按照明确的判断标准判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一．(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都是不同的．若A是一个集合，a，b是集合A的任意两个元素，则一定有a≠b.(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，集合与其中元素的排列次序无关．如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．1．思考辨析(1)著名的数学家能构成一个集合．()(2)－1∈N.()(3){x∈R|2x－30}是不等式2x－30的解集，它是一个无限集．()[解析](1)×，因为“著名”无明确标准．(2)×，因为－1不是自然数．(3)√.[答案](1)×(2)×(3)√2．下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1B．2C．3D．4B[只有①②正确，故选B.]3．若4∈{3，x＋1}，则实数x＝________.3[由4∈{3，x＋1}，得x＋1＝4，解得x＝3.]4．用适当的方法表示下列集合：(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；(2)在自然数集中，小于1000的奇数构成的集合．[解](1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，所以解集为{0，－1}．(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n500，n∈N}．-7-