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-1-3.2全集与补集学习目标核心素养1.理解全集、补集的概念．(重点)2.会求给定集合的补集．(重点)3.熟练掌握集合的综合运算，并能解决简单的应用问题．(难点)1.通过学习全集、补集的概念，培养数学抽象素养.2.通过集合间的交、并、补的运算，提升数学运算、逻辑推理素养.阅读教材P12从本节开始至P14“练习”以上部分，完成下列问题．1．全集(1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．(2)记法：全集通常记作U.思考：全集唯一吗？我们研究奇数或偶数的有关问题时，应选取的全集通常是什么？[提示]全集不唯一，通常选取整数集作为全集．2．补集文字语言设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合称为U中子集A的补集(或余集)，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言性质A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U(A∪B)＝()A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}C[因为A∪B＝{1,2,4}，U＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{3}．]2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2}，则A∩(∁UB)＝()A．{1,2,3,4,5}B．{1,4}-2-C．{1,2,4}D．{3,5}B[∁UB＝{1,3,4,5}，又A＝{1,2,4}，则A∩(∁UB)＝{1,4}．]3．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁UA＝________.{x|x1}[如图所示：由上图知，∁UA＝{x|x1}．]4．设全集U＝{1,2,3,4,5}，∁UA＝{1,3,5}，则A＝________.{2,4}[由补集的定义知，A＝{2,4}．]Venn图在补集中的应用【例1】图中阴影部分所表示的集合是()A．B∩∁U(A∪C)B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁UB)D．∁U(A∪C)∪BA[阴影部分可表示为B∩∁U(A∪C)．]1．当阴影是凹陷图形时，常用补集表示；2．当题目涉及多个集合的补集时，常利用Venn图分析解决；3．应用题常用Venn图分析求解．1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}，∁UB＝{1,4,6,8,9}，则集合B＝________.{2,3,5,7}[借助Venn图，如图所示．得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．因为∁UB＝{1,4,6,8,9}，-3-所以B＝{2,3,5,7}．]补集的有关运算【例2】(1)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3x≤2}，则∁UA＝______，∁UB＝________.(2)设U＝{x|－5≤x－2，或2x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁UA＝________，∁UB＝________.(1){x|x－3}{x|x≤－3，或x2}(2){－5，－4,3,4}{－5，－4,5}[(1)因为A＝{x|x≥－3}，所以∁UA＝∁RA＝{x|x－3}．又因为B＝{x|－3x≤2}，所以∁UB＝{x|x≤－3，或x2}．(2)法一：在集合U中，因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，所以U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，所以∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．法二：(Venn图法)可用Venn图表示则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．]求集合补集的策略如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解.另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错.如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.-4-2．(1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∪∁UB＝()A．{3}B．{4}C．{3,4}D．∅(2)设集合S＝{x|x－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于()A．{x|－2x≤1}B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}(1)A(2)C[(1)因为U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1,2,3}，又因为B＝{1,2}，所以{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁UB＝{3,4}，所以A∩∁UB＝{3}．(2)因为S＝{x|x－2}．所以∁RS＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]与补集相关的参数值的求解[探究问题]1．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁UA＝{5}，求实数a的值．提示：∵∁UA＝{5}，∴5∈U，且5∉A.∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4.当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意．当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A⃘U，故a＝－4舍去．综上知a＝2.2．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2x4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．提示：由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x－m}，因为B＝{x|－2x4}，(∁UA)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以实数m的取值范围是{m|m≥2}．3．设全集U＝R，M＝{x|3ax2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M⊆(∁UP)，求实数a的取值范围．提示：∁UP＝{x|x－2，或x1}，因为M⊆(∁UP)，所以分M＝∅，M≠∅两种情况讨论．-5-(1)M＝∅时，应有3a≥2a＋5，所以a≥5.(2)M≠∅时，如图可得：3a2a＋5，2a＋5≤－2或3a2a＋5，3a≥1，所以a≤－72或13≤a5，综上可知，实数a的取值范围为aa≥13或a≤－72.【例3】已知集合A＝{x|1x2}，B＝{x|xa}，若(∁RA)∪B＝R，求实数a的取值范围．[思路探究]先求出∁RA，再借助数轴寻找a满足的条件．[解]∁RA＝{x|x≤1，或x≥2}．画出符合题意的图形．由上图得，a≥2.(变条件)将例3中的“(∁RA)∪B＝R”，改为“A∩(∁RB)＝∅”，求实数a的取值范围．[解]由A∩(∁RB)＝∅，得A⊆B.画出符合题意的图形：由图，得a≥2.由集合补集求参数的方法1．补集定义的理解(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集．比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集．(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想．-6-(3)从符号角度来看，若x∈U，AU，则x∈A和x∈∁UA二者必居其一．求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．2．与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．3．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.1．思考辨析(1)全集包含任何一个元素．()(2)∁AC＝∁BC.()(3)若x∈U，A⊆U，则x∈A，或x∈∁UA.()[答案](1)×(2)×(3)√2．已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1,2}B．{－1,0}C．{0,1}D．{1,2}A[阴影部分表示的集合为B∩(∁ZA)＝{－1,2}．]3．已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁UB)＝__________.{1,2,3}[∁UB＝{2}，A∪(∁UB)＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．]4．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，求实数m的值．[解]由∁UA＝{1,2}，得A＝{0,3}．所以9＋3m＝0，解得m＝－3.