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-1-§3函数的单调性学习目标核心素养1.理解函数单调性的概念及其几何意义．(难点)2．掌握用定义证明函数单调性的步骤．(重点)3．会求函数的单调区间，理解函数单调性的简单应用．(难点)1.通过学习函数单调性的概念及几何意义，提升数学抽象素养．2．通过函数单调性的证明，培养逻辑推理素养.1．函数在区间上增加(减少)的定义阅读教材P36～P37第二自然段结束，完成下列问题．在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A，当x1x2时都有f(x1)f(x2)f(x)在区间A上是增加的(递增的)都有f(x1)f(x2)f(x)在区间A上是减少的(递减的)思考1：对于函数f(x)＝x2，x∈[－1,1]，由于f(－1)f(0)，所以f(x)在区间[－1,1]上是递减的，这个结论正确吗？[提示]不正确．在函数递增的定义中，要求对于任意x1，x2∈A，当x1x2时，f(x1)f(x2)，本推理不满足定义．2．单调区间、单调性和单调函数的概念阅读教材P37第三自然段开始～P38“函数f(x)＝3x＋2是R上的增函数”的有关内容，完成下列问题．(1)函数的单调区间如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．(2)函数的单调性如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．-2-思考2：函数y＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)，还是(－∞，0)和(0，＋∞)?[提示]函数y＝1x的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．3．函数最大值、最小值的概念阅读教材P38第二自然段及左侧“思考”～P39“练习”以上内容，完成下列问题．前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈D，都有f(x)≤M；②存在x0∈D，使得f(x0)＝M①对任意x∈D都有f(x)≥M；②存在x0∈D，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值思考3：(1)任何函数都有最大值或最小值吗？(2)当x∈R时，f(x)＝12x2≥－1，－1是函数f(x)＝12x2，x∈R的最小值吗？(3)函数f(x)的最大(小)值的几何意义分别是什么？[提示](1)不一定，如函数y＝2x，x∈R就无最大值和最小值．(2)不是，虽然f(x)≥－1，但是不存在x0∈R，使f(x0)＝－1.根据最小值的定义可知－1不是函数f(x)的最小值．(3)函数f(x)的最大(小)值的几何意义分别是函数f(x)的图像上最高(低)点的纵坐标．1．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有()A．k12B．k－12C．k12D．k－12C[由y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，所以2k－10得k12，故选C.]2．函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0B．0,2C．f(－2)，2D．f(2)，2C[由最大(小)值的几何意义，可知f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－2)．]3．函数f(x)＝x2－1，x∈R的最小值是________．-3-－1[f(x)＝x2－1≥－1，又f(0)＝－1，所以f(x)的最小值是－1.]4．已知函数f(x)在R中是增函数，则当x1x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系是________．f(x1)f(x2)[根据增函数的定义知，f(x1)f(x2)．]用定义判断或证明函数的单调性【例1】证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上为减函数．[思路探究]在(0,1)上任取x1，x2且x1＜x2，通过作差比较法证明f(x1)＞f(x2)．[解]任取x1，x2∈(0,1)，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝x2＋1x2－x1＋1x1＝x2－x1x1x2－1x1x2，由0x1x21，得x2－x10，x1x2－10，x1x20，所以，f(x2)－f(x1)0，于是f(x2)f(x1)．根据减函数的定义知，f(x)在(0,1)上为减函数．用定义判断或证明单调性的步骤设元：在指定区间内任取x1，x2且x1＜x2.作差变形：计算fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子几个因式的积或几个完全平方式的和定号：确定fx1－fx2的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论.判断：根据fx1－fx2的符号及定义判断函数的单调性.1．对于例1中的函数，证明其在区间(1，＋∞)内是增函数．[证明]任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝x2＋1x2－x1＋1x1＝x2－x1x1x2－1x1x2，由x2x11，得-4-x2－x10，x1x2－10，x1x20，所以f(x2)－f(x1)0，于是f(x2)f(x1)，根据增函数的定义知，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．已知函数的单调性求参数的取值范围【例2】已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋1在区间(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围．[思路探究]求出f(x)的单调递减区间，利用集合之间的关系求解．[解]∵f(x)＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋1.∴f(x)的单调递减区间是(－∞，1－a]．又f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，则(－∞，4]⊆(－∞，1－a]，∴1－a≥4，解得a≤－3.1．(变条件)设函数f(x)＝(1－2a)x＋1是R上的增函数，则有()A．a12B．a12C．a－12D．a－12A[依题意，1－2a0，解得a12.]2．(变条件)已知函数f(x)＝－x2－ax－5，x≤1ax，x1是R上的增函数，则a的取值范围是________．－3≤a≤－2[依题意，-5-－a2≥1，a0，－12－a×1－5≤a1，解得－3≤a≤－2.]知函数的单调性，求参数取值范围的方法先求出函数的单调区间，将其转化为两个集合之间的关系求解；当已知函数是分段函数时，不但要考虑各段上函数的单调性，而且还要考虑各段图像之间的上下关系.利用单调性求函数的最大(小)值[探究问题]1．若函数f(x)在定义域[a，b]上是增函数，则f(x)的最大值与最小值分别是什么？提示：f(x)max＝f(b)，f(x)min＝f(a)．2．已知函数f(x)的定义域是区间(a，b)，且在(a，c]上递增，在[c，b)上递减，则f(x)是否一定存在最大值，若存在最大值，最大值是什么？提示：f(x)一定存在最大值，最大值是f(c)．3．如何求函数f(x)＝－2x＋1在区间[1,3]上的最大值与最小值．提示：由f(x)＝－2x＋1在区间[1,3]上单调递增，得f(x)max＝f(3)＝－23＋1＝－12；f(x)min＝f(1)＝－21＋1＝－1.【例3】求函数f(x)＝2x＋1x＋1在区间[1,3]上的最大值与最小值．[思路探究]先判断函数f(x)在区间[1,3]上的单调性，再利用单调性求最值．[解]f(x)＝2x＋1x＋1＝2x＋11x＋1＝2＋－1x＋1.其图像如下：-6-由上图知，f(x)在区间[1,3]上递增，所以，f(x)max＝f(3)＝2＋－13＋1＝74；f(x)min＝f(1)＝2＋－11＋1＝32.如果函数y＝fx在区间a，b]上是增函数，在区间[b，c上是减函数，则函数y＝fx，xa，c在x＝b处有最大值fb如果函数y＝fx在区间a，b]上是减函数，在区间[b，c上是增函数，则函数y＝fx，xa，c在x＝b处有最小值fb,如果函数y＝fx在区间[a，b]上是增减函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小大值、最大小值.2．求函数f(x)＝xx－1在区间[2,5]上的最值．[解]f(x)＝xx－1＝x－11x－1＝1＋1x－1.其图像如下：由上图知，f(x)在[2,5]上递减，所以，f(x)max＝f(2)＝2；f(x)min＝f(5)＝54.1．单调函数的运算性质若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则：(1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．-7-(2)f(x)与a·f(x)，当a0时具有相同的单调性；当a0时具有相反的单调性．(3)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)增函数增函数增函数不能确定单调性增函数减函数不能确定单调性增函数减函数减函数减函数不能确定单调性减函数增函数不能确定单调性减函数2.对函数最值的三点说明(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图像不能位于直线y＝M的上(下)方．(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f(x)的图像与直线y＝M至少有一个交点．3．函数最值与函数值域的关系函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值.1．思考辨析(1)在区间A上存在x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在区间A上是增加的．()(2)若函数y＝f(x)在区间A上是减少的，当x1，x2∈A，且f(x1)＜f(x2)时，有x1＞x2.()(3)函数f(x)＝1x在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减少的，则f(x)为减函数．()[答案](1)×(2)√(3)×2．函数y＝－x＋1在区间12，2上的最大值是()A．－12B．－1C.12D．3C[函数y＝－x＋1在区间12，2上是递减的，所以当x＝12时，函数取得最大值ymax＝－-8-12＋1＝12.]3．若函数f(x)是[－2,2]上的减函数，则f(－1)______f(2)(填“＞”“＜”“＝”)．[∵f(x)在[－2,2]上是减函数，且－1＜2，∴f(－1)＞f(2)．]4．求证：函数f(x)＝－1x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．[证明]设x1，x2是区间(－∞，0)内的任意两个值，且x1＜x2，则x1－x2＜0，x1x2＞0，因为f(x1)－f(x2)＝－1x1－1－－1x2－1＝1x2－1x1＝x1－x2x1x2，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．故f(x)＝－1x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．