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-1-第4章函数应用函数的零点及应用【例1】(1)设函数y＝x2与y＝12x－2的图像的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)(2)函数f(x)＝x12－12x的零点个数为()A．0B．1C．2D．3[思路探究](1)将其转化为函数的零点所在区间的判断．(2)利用零点存在性定理及函数的单调性求解．(1)B(2)B[(1)由y＝x2y＝12x－2消去y得x2＝12x－2令f(x)＝x2－12x-2，则x0是函数y＝f(x)的零点．又f(1)＝－10，f(2)＝30，由零点存在性定理知，x0∈(1,2)．故选B.(2)因为f(0)＝－10，f(1)＝120，所以y＝f(x)至少有一个零点．又因为y＝f(x)是增函数，-2-所以，y＝f(x)有唯一零点，故选B.]确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断.1．已知函数f(x)＝2x，x≥2，x－13，x＜2.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．(0,1)[在同一坐标系中作出f(x)＝2x，x≥2，x－13，x＜2及y＝k的图像(如下图)．可知，当0＜k＜1时，y＝k与y＝f(x)的图像有两个交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根．]二分法的应用【例2】用二分法求5的近似值．(精度为0.1)[解]设x＝5，则x2＝5，即x2－5＝0，令f(x)＝x2－5.因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.290.因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x0∈(2.2,2.3)，-3-再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.06250.因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以5的近似值可取为2.25.1．看清题目的精度，它决定着二分的次数．2．根据f(a0)·f(b0)＜0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解，再确定初始区间．3．初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大．4．取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，an与bn按精度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解．2．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围是()A.0，12B．12，1C．(1,2)D．(2，＋∞)B[先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图像，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为12，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实数解时，k的范围为12，1.]实际问题的函数建模[探究问题]1．图中一组函数图像，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：-4-①②③④情境A：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻)；情境B：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好)；情境C：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把水排掉这段时间浴缸里水的高度；情境D：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润．其中情境A，B，C，D分别对应的图像是________．(填序号)提示：①③④②2．环境污染已经严重危害人们的健康，某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：月数1234…污染度6031130…污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝203(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由．提示：用h(x)模拟比较合理．理由：因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5.由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．【例3】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)-5-[思路探究][解](1)由题意知：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20x≤200时，设v(x)＝ax＋b，由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤x≤20，13200－x20x≤200.(2)依题意并由(1)可得f(x)＝60x，0≤x≤20，13x200－x20x≤200.当0x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20x≤200时，f(x)＝13x(200－x)＝－13(x－100)2＋100003.所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值100003.又1200＜100003，所以当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．1．解函数应用题可归纳为四步：-6-(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)还原．其中“建模”是最关键的一步．建模就是将实际问题数学化，准确建模的前提是了解常见的函数模型．2．函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测．3．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度xcm与当年灌溉面积yhm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示．年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积y(hm2)随积雪深度x(cm)变化的图像；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图像；(3)根据所建立的函数模型，求最大积雪深度为25cm时，可以灌溉的土地面积．[解](1)描点作图如图甲．甲乙(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝ax＋b(a≠0)．取其中的两组数据(10.4，21.1)，-7-(24.0,45.8)，代入y＝ax＋b，得21.1＝10.4a＋b，45.8＝24.0a＋b，用计算器可算得a≈1.8，b≈2.4.这样，我们得到一个函数模型y＝1.8x＋2.4.作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由y＝1.8×25＋2.4，求得y＝47.4，即当最大积雪深度为25cm时，可以灌溉土地47.4hm2.化归与转化思想的应用设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实根的个数．[思路探究]先将对数方程转化为二次方程，再将参数a与未知数x分离，进一步转化为两函数图像交点的个数问题．[解]原方程可化为x－10，3－x0，a－x0，x－13－xa－x，即1x3，a＝－x2＋5x－3画出函数y＝－x2＋5x－3，(1x3)，的图像，如下：所以，当a1，或a134时，无解；当a＝134，或1≤a3时，一解；当3≤a134时，两解．转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题.在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的.-8-4．已知函数f(x)＝mx2－x－1在区间(0,1)内有零点，求实数m的取值范围．[解]令f(x)＝0，得mx2－x－1＝0.又x∈(0,1)，则m＝1x2＋1x，令t＝1x，则t∈(1，＋∞)，∴m＝t2＋t＝t＋122－14，∴m2.