2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系

-1-2．1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系考点学习目标核心素养一元二次方程根的判断理解判别式Δ的值与一元二次方程根的个数之间的关系，并会应用数学运算一元二次方程根与系数的关系会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值及求参数的取值范围数学运算问题导学预习教材P47－P50的内容，思考以下问题：1．如何通过判别式Δ判定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)解的情况？2．一元二次方程的根与系数有什么关系？1．一元二次方程的解集一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．(1)当Δ0时，方程的解集为{－b＋b2－4ac2a，－b－b2－4ac2a}；(2)当Δ＝0时，方程的解集为－b2a；(3)当Δ0时，方程的解集为∅．2．一元二次方程根与系数的关系若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca．■名师点拨应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：①(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；②x2x1＋x1x2＝（x1＋x2）2－2x1x2x1x2；③|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)-2-(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等实数根，则b2－4ac0.()(2)一元二次方程x2＋ax＋a－1＝0有实数根．()答案：(1)√(2)√下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()A．x2＋1＝0B．x2－2x＋1＝0C．x2＋2x＋4＝0D．x2－x－3＝0答案：D若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有实数根，则k的取值范围是________．解析：因为一元二次方程x2＋4x＋k＝0有实数根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4.答案：(－∞，4]已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2＝________.解析：因为x1，x2是方程x2－2x－1＝0的根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－1，所以1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝－2.答案：－2方程根个数的判断及应用已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根；(4)方程无实数根．【解】Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ0，即4(1－3k)0，所以k13.(2)因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，-3-所以k＝13.(3)因为方程有实根，所以Δ≥0，即4(1－3k)≥0，所以k≤13.(4)因为方程无实根，所以Δ0，即4(1－3k)0，所以k13.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有(1)当Δ0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝－b±b2－4ac2a；(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a；(3)当Δ0时，方程没有实数根．1．不解方程，判断下列方程的实数根的个数．(1)2x2－3x＋1＝0；(2)4y2＋9＝12y；(3)5(x2＋3)－6x＝0.解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×1＝10，所以原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为4y2－12y＋9＝0，因为Δ＝(－12)2－4×4×9＝0，所以原方程有两个相等的实数根．(3)原方程可化为5x2－6x＋15＝0，因为Δ＝(－6)2－4×5×15＝－2640，所以原方程没有实数根．2．已知方程x2＋kx＋1＝0(k0)有实数根，求函数y＝k2＋2k－1的取值范围．解：Δ＝b2－4ac＝k2－4≥0，k≥2(因为k0)，y＝k2＋2k－1，k∈[2，＋∞)，因为对称轴k＝－1，又因为a＝10，所以当k∈[2，＋∞)时且k越来越大时y也越来越大，所以当k＝2时，ymin＝4＋4－1＝7，所以y≥7.-4-注：k∈[2，＋∞)就是k可取得大于等于2的一切实数．直接应用根与系数的关系进行计算若x1，x2是方程x2＋2x－2007＝0的两个根，试求下列各式的值：(1)x21＋x22；(2)1x1＋1x2；(3)(x1－5)(x2－5)；(4)|x1－x2|.【解】x1＋x2＝－2，x1x2＝－2007，(1)x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2007)＝4018.(2)1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝－2－2007＝22007.(3)(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2007－5×(－2)＋25＝－1972.(4)|x1－x2|＝（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4＋4×2007＝8032＝4502.在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．1．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求x2x1＋x1x2的值．解：由题知，Δ0，x1＋x2＝－6，x1x2＝3，所以x2x1＋x1x2＝x21＋x22x1x2＝（x1＋x2）2－2x1x2x1x2＝（－6）2－2×33＝10.2．设a，b是方程x2＋x－2019＝0的两个实数根，求a2＋2a＋b的值．解：由题知，Δ0，a＋b＝－1，a2＋a－2019＝0，所以a2＋2a＋b＝(a2＋a)＋(a＋b)＝2019－1＝2018.-5-应用根与系数的关系求字母系数的值或范围已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋14k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2.【解】Δ＝[－(k＋1)]2－4×14k2＋1＝2k－3，Δ≥0，k≥32.(1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝14k2＋1＝5，k2＝16，k＝4或k＝－4(舍)．(2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝32.方程为x2－52x＋2516＝0，x1＝x2＝540满足．②若x10，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1.方程为x2＋54＝0，而方程无解，所以k≠－1，所以k＝32.利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.1．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)若此方程的两个实数根x1，x2满足x21＋x22＝11，求k的值．解：(1)因为关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．所以Δ≥0，即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，解得k≤58.(2)由题知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1，所以x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3.因为x21＋x22＝11，所以2k2－6k＋3＝11，解得k＝4或k＝－1，-6-因为k≤58，所以k＝－1.2．已知关于x的方程x2－tx＋2－t＝0，根据下列条件，求出实数t的取值范围．(1)两个根都大于1；(2)一个根大于1，另一个根小于1.解：设方程的两个根为x1，x2，(1)Δ≥0x11x21⇒Δ≥0（x1－1）＋（x2－1）＞0（x1－1）（x2－1）＞0⇒t2＋4t－8≥0t＞2t＜32无解．所以不存在实数t，使得方程的两个根都大于1.(2)Δ0x11x21⇒Δ0（x1－1）（x2－1）0⇒t2＋4t－80t32，t32.1．方程x2－23kx＋3k2＝0的根的情况是()A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根解析：选C.Δ＝(－23k)2－12k2＝12k2－12k2＝0.2．若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．m14B．m－14C．m14且m≠0D．m＞－14且m≠0解析：选D.Δ＝(2m＋1)2－4m2＝4m2＋4m＋1－4m2＝4m＋10，解得m－14.当m＝0时，方程x＝0不符合题意．3．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为()A．4B．－4C．3D．－3解析：选A.由题知x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，解得-7-b＝4.4．已知方程x2＋tx＋1＝0，根据下列条件，分别求出t的取值范围．(1)两个根都大于0；(2)两个根都小于0；(3)一个根大于0，另一个根小于0.解：设方程x2＋tx＋1＝0的两个根为x1，x2.(1)Δ≥0x1＞0x2＞0⇒Δ≥0x1＋x2＞0x1x2＞0⇒t2－4≥0－t＞01＞0⇒t≥2或t≤－2t＜0t∈R⇒t≤－2.所以t的取值范围为(－∞，－2]．(2)Δ≥0x1＜0x2＜0⇔Δ≥0x1＋x2＜0x1x2＞0⇒t2－4≥0－t＜01＞0⇒t≥2或t≤－2t＞0t∈R⇒t≥2.所以t的取值范围为[2，＋∞)．(3)Δ＞0x1＞0x2＜0⇔Δ＞0x1x2＜0⇒t2－4＞01＜0⇒t＞2或t＜－2无解.所以无解，即不存在实数t使得方程的一个根大于0，另一个根小于0.所以t的取值范围为∅.[A基础达标]1．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为()A．5B．－1C．2D．－5解析：选B.设方程的另一个根为x0，则－2＋x0＝－3，即x0＝－1.2．若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为()A．－1B．1C．－2或2D．－3或1解析：选A.由x(x＋1)＋ax＝0，得x2＋(1＋a)x＝0.因为方程有两个相等的实数根，所以判别式Δ＝0.所以a＝－1.3．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两个根，则βα＋αβ的值是()-8-A.427B．－427C．－5827D.5827解析：选C.由题知α＋β＝－23，αβ＝－3，所以βα＋αβ＝（α＋β）2－2αβαβ＝－5827.4．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋m4＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若1x1＋1x2＝4m，则m的值是()A．2B．－1C．2或－1D．不存在解析：选A.由题知m≠0，Δ＝（m＋2）2－4m·m40，解得m－1且m≠0.因为x1＋x2＝m＋2m，x1x2＝14，所以1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝m＋2m14＝4m，所以m＝2或－1.因为m－1，所以m＝2.5．若a，b，c为△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程(c－b)x2＋22(b－a)x＋2(a－b)＝0有两个相等的实数根，则这个三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不等边三角形解析：选A.根据题意，得c－b≠0，Δ＝[22(b－a)]2－4(c－b)·2(a－b)＝0，(a－b)(a－b－c＋b)＝0，所以a－b＝0或a－c＝0，所以a＝b或a＝c，所以这个三角形为等腰三角形．6．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x21－x22＝10，则-9-a＝________.解析：由题知x1＋x2＝5，x1x2＝a.因为x21－x22＝(x1＋x2)(x1－x2)＝10，所以x1－x2＝2，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，所以a＝214.答案：2147