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-1-2．2.1不等式及其性质考点学习目标核心素养数(式)大小比较会运用作差法比较两个数或式的大小逻辑推理不等式的性质掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题逻辑推理问题导学预习教材P58－P63的内容，思考以下问题：1．如何比较两个实数的大小？2．不等式的性质有哪些？3．不等式的性质有哪些推论？1．比较实数a，b的大小(1)文字叙述如果a－b是正数，那么ab；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab，反过来也对．(2)符号表示a－b0⇔ab；a－b＝0⇔a＝b；a－b0⇔ab.■名师点拨符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．2．不等式的性质性质1：如果ab，那么a＋cb＋c.性质2：如果ab，c0，那么acbc.性质3：如果ab，c0，那么acbc.性质4：如果ab，bc，那么ac.(传递性)性质5：a＞bb＜a.推论1：如果a＋bc，则ac－b.(不等式的移项法则)推论2：如果ab，cd，那么a＋cb＋d.(同向可加性)推论3：如果ab0，cd0，那么acbd.-2-推论4：如果ab0，那么anbn(n∈N，n1)．推论5：如果ab0，那么ab.■名师点拨(1)推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．(2)推论2表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．(3)推论3表明，n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.()(2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(3)若ab或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()(4)若a＋cb＋d，则ab，cd.()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×设a，b，c∈R，且ab，则()A．acbcB．1a1bC．a2b2D．a3b3答案：D已知ab，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是()A．ad＞bcB．ac＞bdC．a－c＞b－dD．a＋c＞b＋d解析：选D.令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A，B，C.由不等式的推论2知，D一定成立．若x1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则M与N的大小关系为________．解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，又因为x1，所以x－10，x－20，所以(x－1)(x－2)0，所以MN.答案：MN数(式)大小的比较(1)比较3x3与3x2－x＋1的大小；-3-(2)已知a≥1，试比较M＝a＋1－a和N＝a－a－1的大小．【解】(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．当x≤1时，有x－1≤0，而3x2＋10.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.当x1时，(3x2＋1)(x－1)0，所以3x33x2－x＋1.(2)因为a≥1，所以M＝a＋1－a0，N＝a－a－10.所以MN＝a＋1－aa－a－1＝a＋a－1a＋1＋a.因为a＋1＋aa＋a－10，所以MN1，所以MN.利用作差法比较大小的四个步骤(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．(4)作出结论．[注意]上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．1．若x∈R，y∈R，则()A．x2＋y22xy－1B．x2＋y2＝2xy－1C．x2＋y22xy－1D．x2＋y2≤2xy－1解析：选A.因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋10，所以x2＋y22xy－1，故选A.2．已知xy0，试比较x3－2y3与xy2－2x2y的大小．解：由题意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)(x＋2y)＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)，因为xy0，所以x－y0，x＋y0，x＋2y0，所以(x3－2y3)－(xy2－2x2y)0，即x3－2y3xy2－2x2y.3．比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．解：因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－-4-1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝12且z＝1时取等号．不等式的性质(1)对于实数a，b，c，有下列说法：①若ab，则acbc；②若ac2bc2，则ab；③若ab0，则a2abb2；其中正确的是________(填序号)．(2)若cab0，求证：ac－abc－b.【解】(1)①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确．②中，由ac2bc2，知c≠0，故c20，所以ab成立，故②正确．③中，ab，a0⇒a2ab，a＜b，b0⇒abb2，所以a2abb2，故③正确．故填②③.(2)证明：因为ab0⇒－a－b⇒c－ac－b.因为ca，所以c－a0.所以0c－ac－b.上式两边同乘1（c－a）（c－b），得1c－a1c－b0.又因为ab0，所以ac－abc－b.利用不等式的性质证明不等式的方法(1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．(2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．1．给出下列命题：①ab⇒a2b2；②a2b2⇒ab；③ab⇒ba1；④ab⇒1a1b.其中正确的命题个数是()-5-A．0B．1C．2D．3解析：选A.由推论4可知，只有当ab0时，a2b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a0且ab时，ba1才成立，故③错误；当a0，b0时，1a＞1b，故④错误．2．已知ab0，求证：abba.证明：因为ab0，所以ab0.①又因为ab0，两边同乘正数1ab，得1b1a0.②①②两式相乘，得abba.利用不等式性质求代数式的取值范围已知－1x4，2y3.(1)求x－y的取值范围；(2)求3x＋2y的取值范围．【解】(1)因为－1x4，2y3，所以－3－y－2，所以－4x－y2.(2)由－1x4，2y3，得－33x12，42y6，所以13x＋2y18.1．若将本例条件改为－1xy3，求x－y的取值范围．解：因为－1x3，－1y3，所以－3＜－y1，所以－4x－y4.又因为xy，所以x－y0，所以－4x－y0，故x－y的取值范围为(－4，0)．2．若将本例条件改为－1x＋y4，2x－y3，求3x＋2y的取值范围．解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则m＋n＝3，m－n＝2，所以m＝52，n＝12.即3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)，又因为－1x＋y4，2x－y3，所以－5252(x＋y)10，112(x－y)32，-6-所以－3252(x＋y)＋12(x－y)232，即－323x＋2y232，所以3x＋2y的取值范围为－32，232.利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．[注意]求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．1．若－1αβ1，则下列各式中恒成立的是()A．－2α－β＜0B．－2α－β－1C．－1α－β0D．－1α－β1解析：选A.由－1α1，－1β1，得－1－β1，所以－2α－β2.又因为αβ，故－2α－β0.2．已知12a60，15＜b36，求a－b与ab的取值范围．解：因为15b36，所以－36－b－15，所以12－36a－b60－15，即－24a－b45.因为1361b115，所以1236ab6015，所以13ab4.所以a－b和ab的取值范围分别是(－24，45)，13，4.1．已知b2a，3dc，则下列不等式一定成立的是()A．2a－cb－3dB．2ac3bd-7-C．2a＋cb＋3dD．2a＋3db＋c解析：选C.由于b2a，3dc，则由不等式的性质得b＋3d2a＋c，故选C.2．已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．M≥N解析：选B.因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以－1a1－10，－1a2－10，所以M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)0，所以MN，故选B.3．已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a________2b－b2a.(填“＞”“＜”或“＝”)解析：因为a≠b，a＜0，所以a－2b－b2a＝（a－b）2a＜0，所以a＜2b－b2a.答案：＜4．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，所以当ab时，x－y0，所以xy；当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；当ab时，x－y0，所以xy.[A基础达标]1．下列说法正确的是()A．若ab，cd，则acbdB．若1a1b，则abC．若bc，则|a|b≥|a|cD．若ab，cd，则a－cb－d解析：选C.A项：a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项：不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项：|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项：同向不等式不能相减．2．设a，b∈R，则“(a－b)·a20”是“ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.(a－b)·a20，则必有a－b0，即ab；而ab时，不能推出(a－b)·a20，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a20”是“ab”的充分不必要条件．3．若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是()-8-A．y1y2B．y1＝y2C．y1y2D．随x值变化而变化解析：选C.y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋10，所以y1y2.故选C.4．已知ab0，则下列不等式一定成立的是()A．a＋1bb＋1aB．a＋1a≥b＋1bC.bab＋1a＋1D．b－1ba－1a解析：选A.因为ab0，所以1b1a0，所以a＋1bb＋1a，故选A.5．设abc，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．abbcB．acbcC．abacD．a|b|c|b|解析：