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-1-第1课时函数的概念考点学习目标核心素养函数的概念理解函数的概念，了解构成函数的三要素数学抽象求函数的定义域会求一些简单函数的定义域数学运算同一个函数掌握同一个函数的概念，并会判断数学抽象求函数值和值域会求简单函数的函数值和值域数学运算问题导学预习教材P85－P88的内容，思考以下问题：1．函数的概念是什么？2．函数的自变量、定义域是如何定义的？3．函数的值域是如何定义的？1．函数的有关概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的实数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}，称为函数的值域．■名师点拨对函数概念的5点说明(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．(4)函数的定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用小写英文字母如g，h表示．(5)在函数的表示中，自变量与因变量与用什么字母表示无关紧要，如f(x)＝2x＋1，x∈R与y＝2s＋1，s∈R是同一个函数．2．同一个函数如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，-2-两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．()(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．()(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.()答案：(1)×(2)√(3)×已知函数g(x)＝2x2－1，则g(1)＝()A．－1B．0C．1D．2解析：选C.因为g(x)＝2x2－1，所以g(1)＝2－1＝1.函数f(x)＝14－x的定义域是()A．(－∞，4)B．(－∞，4]C．(4，＋∞)D．[4，＋∞)解析：选A.由4－x0，解得x4，所以此函数的定义域为(－∞，4)．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是()A．x＝y2＋1B．y＝2x2＋1C．x－2y＝6D．x＝y解析：选A.对于A，由x＝y2＋1得y2＝x－1.当x＝5时，y＝±2，故y不是x的函数；对于B，y＝2x2＋1是二次函数；对于C，x－2y＝6⇒y＝12x－3是一次函数；对于D，由x＝y得y＝x2(x≥0)是二次函数．故选A.函数的概念(1)如图可作为函数y＝f(x)的图像的是()(2)下列三个说法：①若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素；②若f(x)＝5(x∈R)，则f(π)＝5一定成立；③函数就是两个集合之间的对应关系．-3-其中正确说法的个数为()A．0B．1C．2D．3(3)已知集合A＝[0，8]，集合B＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是()A．f：x→y＝18xB．f：x→y＝14xC．f：x→y＝12xD．f：x→y＝x【解析】(1)观察图像可知，A，B，C中任取一个x的值，y有可能有多个值与之对应，所以不是函数图像．D中图像是函数图像．(2)①错误．若函数的值域只含有一个元素，则定义域不一定只含有一个元素；②正确．因为f(x)＝5，这个数值不随x的变化而变化，所以f(π)＝5；③错误．函数就是两个非空数集之间的对应关系．(3)对于A中的任意一个元素，在对应关系f：x→y＝18x；f：x→y＝14x；f：x→y＝12x下，在B中都有唯一的元素与之对应，故能构成函数关系．对于A中的元素8，在对应关系f：x→y＝x下，在B中没有元素与之对应，故不能构成函数关系．【答案】(1)D(2)B(3)D(1)判断所给对应关系是否为函数的方法①先观察两个数集A，B是否非空；②验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．(2)根据图形判断对应关系是否为函数的步骤①任取一条垂直于x轴的直线l；②在定义域内平行移动直线l；③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．1．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图像是()解析：选C.由函数概念知选C.2．下列对应关系是集合P上的函数的是________．-4-①P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；②P＝{－1，1，－2，2}，Q＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；③P＝{三角形}，Q＝{x|x0}，对应关系f：对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应．解析：②显然正确，由于①中的集合P中的元素0在集合Q中没有对应元素，并且③中的集合P不是数集，从而①③不正确．答案：②求函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y＝(x＋1)2x＋1－1－x；(2)y＝3－x|x|－5.【解】(1)要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足x＋1≠0，1－x≥0，解得x≤1且x≠－1，即函数的定义域为{x|x≤1且x≠－1}．(2)要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足3－x≥0，|x|－5≠0，解得x≤3且x≠－5，即函数的定义域为{x|x≤3且x≠－5}．(1)求函数定义域的常用方法①若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；②若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；③若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；④若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；⑤若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．(2)第(1)题易出现化简y＝x＋1－1－x，错求定义域为{x|x≤1}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形．求下列函数的定义域．(1)f(x)＝x－1·4－x＋2；(2)y＝(x＋1)0|x|－x；(3)f(x)＝x＋3＋1x＋2.-5-解：(1)要使此函数有意义，应满足x－1≥0，4－x≥0，解得1≤x≤4，所以此函数的定义域是[1，4]．(2)因为00无意义，所以x＋1≠0，即x≠－1.①作为分母不能为0，二次根式的被开方数不能为负，所以|x|－x0，即x0.②由①②可得函数y＝(x＋1)0|x|－x的定义域是(－∞，－1)∪(－1，0)．(3)要使此函数有意义，则x＋3≥0，x＋2≠0⇒x≥－3，x≠－2⇒x≥－3且x≠－2.所以f(x)的定义域为(－3，－2)∪(－2，＋∞)．同一个函数(1)给出下列三个说法：①f(x)＝x0与g(x)＝1是同一个函数；②y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R可能是同一个函数；③y＝f(x)，x∈R与y＝f(t)，t∈R是同一个函数．其中正确说法的个数是()A．3B．2C．1D．0(2)下列各组函数：①f(x)＝x2－xx，g(x)＝x－1；②f(x)＝xx，g(x)＝xx；③f(x)＝x＋1·1－x，g(x)＝1－x2；④f(x)＝（x＋3）2，g(x)＝x＋3.其中表示同一个函数的是________(填上所有同一个函数的序号)．【解析】(1)①错误．函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)＝1的定义域是R，不是同一个函数；②正确．y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一个函数．所以正确的说法有2个．(2)①定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R.-6-②对应关系不同，f(x)＝1x，g(x)＝x.③定义域、对应关系都相同．④对应关系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3.综上，只有③中两个函数表示同一个函数．【答案】(1)B(2)③判断两个函数为同一个函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．下列各组函数表示同一个函数的是()A．f(x)＝x，x≥0，－x，x0与g(x)＝|x|B．f(x)＝1与g(x)＝(x＋1)0C．f(x)＝x2与g(x)＝(x)2D．f(x)＝x＋1与g(x)＝x2－1x－1解析：选A.A项中两函数的定义域和对应关系相同，为同一个函数；B项中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)；C项中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)；D项中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．B，C，D三项中两个函数的定义域都不相同，所以不是同一个函数．故选A.求函数值和值域已知f(x)＝12－x(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)．(1)求f(1)，g(1)的值；(2)求f(g(x))．【解】(1)f(1)＝12－1＝1，g(1)＝1＋4＝5.(2)f(g(x))＝f(x＋4)＝12－(x＋4)＝1－2－x＝－1x＋2(x∈R，且x≠－2)．-7-1．(变问法)在本例条件下，求g(f(1))的值及f(2x＋1)的表达式．解：g(f(1))＝g(1)＝1＋4＝5.f(2x＋1)＝12－(2x＋1)＝－12x－1x∈R，且x≠12.2．(变条件)若将本例g(x)的定义域改为{0，1，2，3}，求g(x)的值域．解：因为g(x)＝x＋4，x∈{0，1，2，3}，所以g(0)＝4，g(1)＝5，g(2)＝6，g(3)＝7.所以g(x)的值域为{4，5，6，7}．(1)求函数值的方法①先要确定函数的对应关系f的具体含义；②然后将变量取值代入解析式计算，对于f(g(x))型函数的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f(g(x))与g(f(x))的区别．(2)求函数值域的常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．1．已知函数f(x)＝x－1，且f(a)＝3，则a＝________．解析：因为f(x)＝x－1，所以f(a)＝a－1.又因为f(a)＝3，所以a－1＝3，a＝16.答案：162．求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；(3)y＝3x－1x＋1；(4)y＝x＋x.解：(1)因为x∈R，所以2x＋1∈R，即函数的值域为R.(2)配方：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1，5)，如图所示．所以所求函数的值域为[2，11)．(3)借助反比例函数的特征求．-8-y＝3(x＋1)－4x＋1＝3－4x＋1(x≠－1)，显然4x＋1可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为{y|y≠3}．(4)设u＝x(x≥0)，则x＝u2(u≥0)，y＝u2＋u＝u＋122－14(u≥0)．由u≥0，可知u＋122≥14，所以y≥0.所以函数y＝x＋x的值域为[0，＋∞)．1．若f(x)＝x＋1，则f(3)＝()A．2B．4C．22D．10解析：选A.因为f(x)＝x＋1，所以f(3)＝3＋1＝2.2．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是()A．f(a)∈BB．f(a)有且只有一个C．若f(a)＝f(b)，则a＝bD．若a＝b，则f(a)＝f(b)解析：选C.根据函数的定义可知，A，B，D正确，C错误．3．已知函