2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.2 函数与方程、不等式之间的关系（第2课时）

-1-第2课时零点的存在性及其近似值的求法考点学习目标核心素养函数零点存在定理会用函数零点存在定理判断函数在某一区间上零点的存在性及零点个数，会根据函数零点的情况求参数数学抽象、数学运算、直观想象二分法通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求定理近似解的方法，会用二分法求一个函数在给定区间内零点近似值数学抽象、数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P115－P118的内容，思考以下问题：(1)函数零点存在定理的内容是什么？(2)二分法的概念是什么？(3)用二分法求函数零点近似值的步骤是什么？1.函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是连续不断的，并且f(a)·f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.■名师点拨定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.2.用二分法求函数零点近似值的步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，且f(a)·f(b)＜0)，给定近似的精确度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步骤如下：第一步检查|b－a|＜2ε是否成立，如果成立，取x1＝a＋b2，计算结束；如果不成立，转到第二步.-2-第二步计算区间[a，b]的中点a＋b2对应的函数值，若fa＋b2＝0，取x1＝a＋b2，计算结束；若fa＋b2≠0，转到第三步.第三步若f(a)fa＋b2＜0，将a＋b2的值赋给b用a＋b2→b表示，下同，回到第一步；否则必有fa＋b2f(b)＜0，将a＋b2的值赋给a，回到第一步.■名师点拨二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()(2)所有函数的零点都可以用二分法来求.()(3)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点.()答案：(1)×(2)×(3)×观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是()答案：A函数f(x)＝x3－3x－3有零点的区间是()A.(－1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)解析：选D.因为f(－1)＝－1＋3－3＝－1＜0，f(0)＝－3＜0，f(1)＝1－3－3＝－5＜0，f(2)＝8－6－3＝－10，f(3)＝27－9－3＝150，所以f(x)＝x3－3x－3的零点在区间(2，3)内.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0∈，第二次应计算.答案：(0，0.5)f(0.25)-3-判断函数零点个数或所在区间(1)已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：x123456y123.5621.45－7.8211.45－53.76－128.88则下列说法正确的是()A.函数y＝f(x)在区间[1，6]上有3个零点B.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点C.函数y＝f(x)在区间[1，6]上至多有3个零点D.函数y＝f(x)在区间[1，2]上无零点(2)函数f(x)＝x3＋x－5的零点所在区间为()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)【解析】(1)由表可知，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0.由函数零点存在定理知，函数y＝f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少存在一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个.虽然f(1)·f(2)＞0，但函数y＝f(x)在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点.(2)由函数f(x)＝x3＋x－5可得f(1)＝1＋1－5＝－3＜0，f(2)＝8＋2－5＝5＞0，故有f(1)f(2)＜0，根据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1，2)，故选B.【答案】(1)B(2)B(1)判断函数零点所在区间的三个步骤①代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值.②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.(2)判断函数存在零点的2种方法①方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数.②图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数.-4-1.在下列区间上，方程x3＝3x－1无实数解的是()A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，2)解析：选B.令f(x)＝x3－3x＋1，易知f(x)在R上连续，f(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，f(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，且f(0)＝0－0＋1＝1＞0.f(1)＝1－3＋1＝－1＜0，f(2)＝8－6＋1＝3＞0.故f(x)在(－2，－1)，(0，1)，(1，2)上有零点，故方程x3－3x＋1＝0在区间(－1，0)上没有零点.故选B.2.对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)上()A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点解析：选C.(1)当Δ＝m2－4n＜0时，方程x2＋mx＋n＝0无实根，即函数f(x)＝x2＋mx＋n在(a，b)上没有零点.(2)当Δ＝m2－4n＝0，且a＜－m2＜b，方程x2＋mx＋n＝0在(a，b)上有两个相等的实根，即x1＝x2＝－m2，此时函数f(x)＝x2＋mx＋n在(a，b)上有一个零点.(3)当Δ＝m2－4n＞0，且a＜－m2＜b，f(a)＞0，f(b)＞0时，方程x2＋mx＋n＝0在(a，b)上有两个不等实根，即函数f(x)＝x2＋mx＋n在(a，b)上有两个零点.根据函数零点求参数(1)已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是.(2)函数f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在区间－12，12内有零点，则实数a的取值范围为Ｗ.【解析】(1)函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点.分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图像，如图所示.-5-由图易知，当a1时，两函数的图像有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞).(2)f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得a＝－1x2＋2x＝－1x－12＋1.若f(x)在－12，12内有零点，则f(x)＝0在区间－12，12内有解，当－12≤x0或0x≤12时，可得a＝－1x2＋2x≤0.所以实数a的取值范围为(－∞，0].【答案】(1)(1，＋∞)(2)(－∞，0]根据函数零点个数求参数值(范围)的方法已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.已知函数f(x)＝|x2－2x|－a，求满足下列条件的a的取值范围.(1)函数f(x)没有零点；(2)函数f(x)有两个零点；(3)函数f(x)有三个零点；(4)函数f(x)有四个零点.解：函数g(x)＝|x2－2x|的图像如图所示.(1)函数f(x)没有零点，即直线y＝a与g(x)＝|x2－2x|的图像没有交点，观察图像可知，此时a＜0.(2)函数f(x)有两个零点，即直线y＝a与g(x)＝|x2－2x|的图像有两个交点，观察图像可知此时a＝0或a＞1.(3)函数f(x)有三个零点，即直线y＝a与g(x)＝|x2－2x|的图像有三个交点，由图像易知a＝1.(4)函数f(x)有四个零点，即直线y＝a与g(x)＝|x2－2x|的图像有四个交点，由图像易知0＜a＜1.-6-利用二分法求方程的近似解用二分法求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度为0.1).【解】设f(x)＝x2－2x－1.因为f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，又f(x)在(2，3)内递增，所以在区间(2，3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根，记为x0.取区间(2，3)的中点x1＝2.5，因为f(2.5)＝0.25＞0，所以x0∈(2，2.5).再取区间(2，2.5)的中点x2＝2.25，因为f(2.25)＝－0.4375＜0，所以x0∈(2.25，2.5).同理可得，x0∈(2.375，2.5).因为|2.375－2.5|＝0.125＜0.2，故方程x2－2x－1＝0的一个精确度为0.1的近似正解可取为2.375＋2.52＝2.4375.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图像估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.已知函数f(x)＝2x3－1(x∈R).(1)证明：函数f(x)在(0.5，1)内有一个零点；(2)求出f(x)在区间(0.5，1)内零点的近似解.(精确度为0.1)解：(1)证明：函数f(x)＝2x3－1在区间[0.5，1]上连续.且f(1)＝2－1＝1＞0，f(0.5)＝14－1＜0，所以函数f(x)在(0.5，1)内有一个零点；(2)由(1)知f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3－1＝0在(0.5，1)内有实数根.如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)fa＋b2(0.5，1)0.75f(0.5)＜0f(1)＞0f(0.75)＜0(0.75，1)0.875f(0.75)＜0f(1)＞0f(0.875)＞0因为|0.75－0.875|＝0.125＜0.2，所以方程2x3－1＝0的一个近似解可取为0.75＋0.8752＝0.8125.1.已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：-7-x123f(x)6.12.9－3.5那么函数f(x)一定存在零点的区间是()A.(－∞，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，＋∞)解析：选C.由于f(2)＞0，f(3)＜0，根据函数零点的存在定理可知函数f(x)在区间(2，3)内一定有零点，其他区间不好判断.故选C.2.若f(x)＝x3＋x2－2x－2在区间[1，1.5]内的零点通过二分法逐次计算，参考数据如表f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260f(1.438)≈0.165f(1.4065)≈－0.052那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为(精确度为0.1)()A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5解析：选C.由题中表知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个根在(1.4065，1.438)之间，那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为(精确度为0.1)1.4；则其近似根为1.4.故选C.3.对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1，0)内有实数根；③在(1，2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根.其中正确的有.(填序号)解析：设f(x)＝x3＋x