2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.3 集合的基本运算（第2课

-1-第2课时全集、补集及综合应用考点学习目标核心素养全集、补集了解全集、补集的意义，正确理解符号∁UA的含义，会求已知全集条件下集合A的补集数学抽象、数学运算、直观想象集合交、并、补的综合运算会求解集合的交、并、补的集合问题数学运算、直观想象与补集相关的参数值(范围)的求解能正确利用补集的意义求解一些具体问题数学运算、直观想象问题导学预习教材P17倒数第4行－P19，思考以下问题：1．全集的含义是什么？2．补集的含义是什么？3．如何理解“∁UA”的含义？4．如何用维恩图表示∁UA?1．全集(1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．(2)记法：全集通常记作U．■名师点拨全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题中涉及的所有元素．2．补集文字语言如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言3.补集的性质-2-(1)A∪(∁UA)＝U．(2)A∩(∁UA)＝∅．(3)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A．(4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)．(5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．■名师点拨∁UA的三层含义(1)∁UA表示一个集合．(2)A是U的子集，即A⊆U.(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数集问题的全集一定是R.()(2)集合∁BC与∁AC相等．()(3)A∩∁UA＝∅.()(4)一个集合的补集中一定含有元素．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，则∁UM＝()A．{2，4，6}B．{1，3，5}C．{1，2，4}D．U解析：选A.因为集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，所以∁UM＝{2，4，6}．已知全集U＝R，区间P＝[－1，1]，那么∁UP＝()A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1，1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选D.因为P＝[－1，1]，U＝R，所以∁UP＝∁RP＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．已知集合A＝{3，4，m}，集合B＝{3，4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________．答案：5补集的运算(1)若区间U＝[－2，2]，则A＝[－2，0]的补集∁UA为()-3-A．(0，2)B．[0，2)C．(0，2]D．[0，2](2)设U＝{x|－5≤x－2，或2x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，则∁UA＝________，∁UB＝________．【解析】(1)借助数轴易得∁UA＝(0，2]．(2)法一：在集合U中，因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3，3，4，5，所以U＝{－5，－4，－3，3，4，5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}，所以∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}．法二：可用维恩图表示则∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}．【答案】(1)C(2){－5，－4，3，4}{－5，－4，5}求集合补集的策略(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助维恩图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解．若集合A＝{x|－1≤x1}，当S分别取下列集合时，求∁SA.(1)S＝R；(2)S＝{x|x≤2}；(3)S＝{x|－4≤x≤1}．解：(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示，由图知∁SA＝{x|x－1或x≥1}．(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示，-4-由图知∁SA＝{x|x－1或1≤x≤2}．(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示，由图知∁SA＝{x|－4≤x－1或x＝1}．集合交、并、补的综合运算(1)(2019·长沙检测)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(∁UB)＝()A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x2}，B＝{x|－1x≤3}，P＝xx≤0或x≥52，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．【解】(1)选A.因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，B＝{1，3，4，6，7}，所以∁UB＝{2，5，8}．又A＝{2，3，5，6}，所以A∩(∁UB)＝{2，5}．(2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示，因为A＝{x|－4≤x2}，B＝{x|－1x≤3}，所以A∩B＝{x|－1x2}，∁UB＝{x|x≤－1或x3}．又P＝xx≤0或x≥52，所以(∁UB)∪P＝xx≤0或x≥52.又∁UP＝x0x52，所以(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1x2}∩x0x52＝{x|0x2}．1．(变问法)在本例(2)的条件下，求(∁UA)∩(∁UP)．解：画出数轴，如图所示，-5-观察数轴可知(∁UA)∩(∁UP)＝x2≤x52.2．(变条件)将本例(2)中的集合P改为{x|x≤5}，且全集U＝P，A，B不变，求A∪(∁UB)．解：画出数轴，如图所示，观察数轴可知A∪(∁UB)＝{x|x2或3x≤5}．解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于维恩图来求解．(2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．解：如图，因为A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3≤x≤2}，所以∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x－3或2x≤4}．所以A∩B＝{x|－2x≤2}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2x3}．与补集相关的参数值(范围)的求解设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2x4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．【解】由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x－m}，因为B＝{x|－2x4}，(∁UA)∩B＝∅，在数轴上表示，如图，所以－m≤－2，-6-即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.(变条件)若将本例中的条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？解：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x－m}，又(∁UA)∩B≠∅，所以－m－2，解得m2.所以m的取值范围是m2.由集合的补集求解参数的方法(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．已知U＝R，区间A＝(－∞，－1)，B＝(2a，a＋3)，且B⊆∁RA，求实数a的取值范围．解：由题意得∁RA＝[－1，＋∞)，①若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA；②若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2aa＋3，即－12≤a3.综上可得，实数a的取值范围是－12，＋∞.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁UP)∪Q＝()A．{1}B．{3，5}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，5}解析：选C.由题意得，∁UP＝{2，4，6}，所以(∁UP)∪Q＝{1，2，4，6}．故选C.2．设全集U＝R，区间A＝(0，＋∞)，B＝(1，＋∞)，则A∩(∁UB)＝()A．[0，1)B．(0，1]C．(－∞，0)D．(1，＋∞)-7-解析：选B.因为∁UB＝(－∞，1]，所以A∩(∁UB)＝(0，1]．3．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于()A．0或2B．0C．1或2D．2解析：选D.由题意，知a＝2，a2－2a＋3＝3，得a＝2.4．设全集为R，A＝{x|3≤x7}，B＝{x|2x10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.解：把集合A，B在数轴上表示如图，由图知，A∪B＝{x|2x10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，因为∁RA＝{x|x3或x≥7}，所以(∁RA)∩B＝{x|2x3或7≤x10}．[A基础达标]1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝()A．{2，6}B．{3，6}C．{1，3，4，5}D．{1，2，4，6}解析：选A.由题知A∪B＝{1，3，4，5}，所以∁U(A∪B)＝{2，6}．故选A.2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0x1}解析：选D.由已知得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，故∁U(A∪B)＝{x|0x1}．3．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁AB＝()A．{x|x是菱形}B．{x|x是内角都不是直角的菱形}C．{x|x是正方形}D．{x|x是邻边都不相等的矩形}解析：选B.由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁AB＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．-8-4．已知全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁UB)＝()A．{3}B．{4}C．{3，4}D．∅解析：选A.因为全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以∁UB＝{3，4}，A＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以A∩(∁UB)＝{3}．故选A.5.(2019·沈阳检测)已知全集U＝R，集合A＝{x|x－1或x4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为()A．{x|－2≤x4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤3}解析：选D.由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．6．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为________．解析：由题意得，A＝{1，2}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4}，所以∁U(A∪B)＝{3，5}，故有2个元素．答案：27．设全集U＝{0，1，2，3}，集合A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________．解析：由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0，3}，即0，3为方程x2＋mx＝0的两根，所以m＝－3.答案：－38．已知全集U＝R，A＝{x|1≤xb}，∁UA＝{x|x1或x≥2}，则实数b＝________．解析：因为∁UA＝{x|x1或x≥2}，所以A＝{x|1≤x2}．所以b＝2.答案：29．已知集合A＝{x|－1x≤3}，B＝{x|1≤x6}，求∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，