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-1-1．2.3充分条件、必要条件考点学习目标核心素养充分条件、必要条件的概念理解充分条件、必要条件、充要条件的概念数学抽象充分条件、必要条件的判断结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法逻辑推理充分条件、必要条件的应用掌握证明充要条件的一般方法逻辑推理问题导学预习教材P30－P34，思考以下问题：1．什么是充分条件？2．什么是必要条件？3．什么是充要条件？1．充分条件与必要条件命题真假“如果p，那么q”是真命题“如果p，那么q”是假命题推出关系p⇒qp⇒/q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件■名师点拨对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释(1)“如果p，那么q”形式的命题为真命题．(2)由条件p可以得到结论q.(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p.(4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的．(5)q是p的必要条件或p的必要条件是q.(6)为得到结论q，具备条件p就可以推出．显然，“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同．[提醒]不能将“如果p，那么q”与“p⇒q”混为一谈，只有“如果p，那么q”为真-2-命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“如果p，那么q”为真命题．2．充要条件如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．■名师点拨(1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”．(2)要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件．(3)对充分条件和必要条件的进一步划分：条件p与结论q的关系结论p⇒q，且q⇒/pp是q的充分不必要条件q⇒p，且p⇒/qp是q的必要不充分条件p⇒q，且q⇒p，即p⇔qp是q的充要条件p⇒/q，且q⇒/pp是q的既不充分也不必要条件判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．()(2)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．()(4)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若四边形为菱形，则四边形的对角线互相垂直．即p⇒q；反之，当四边形的对角线互相垂直时，该四边形不一定是菱形，故q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件-3-解析：选C.因为{}x|－1x3{}x|x3，所以p是q成立的必要不充分条件．设a，b是实数，则“a＋b0”是“ab0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选D.若a＋b0，取a＝3，b＝－2，则ab0不成立；反之，若ab0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b0也不成立，因此“a＋b0”是“ab0”的既不充分也不必要条件．“ac＝bc”是“a＝b”的______条件．解析：若ac＝bc，当c＝0时不一定有a＝b；反之若a＝b，则有ac＝bc成立．故“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件．答案：必要不充分充分、必要、充要条件的判断下列各命题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；(3)p：xy0，q：x0，y0.(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．【解】(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分，即p⇒q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q⇒/p.所以p是q的充分不必要条件．(3)因为xy0时，x0，y0或x0，y0.故p⇒/q，但q⇒p.所以p是q的必要不充分条件．(4)因为四边形的对角线相等⇒/四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件．-4-充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p⇒q，q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合法对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件．1．(2019·潮州期末)已知命题p：－1x1，命题q：x≥－2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.依题意可知p⇒q成立，反之不成立．即p是q的充分不必要条件，故选A.2．(2019·金华期末)“xa”是“x|a|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若a≥0，由x|a|得xa，若a0，则由x|a|得x－a，此时x－aa成立，即必要性成立，当a0时，不妨设a＝－1，则由x－1，不一定推出x|－1|，即充分性不成立，则“xa”是“x|a|”的必要不充分条件，故选B.3．“x2”是“1x－20”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由1x－20得x－20得x2，即“x2”是“1x－20”的充要条件，故选A.充分条件、必要条件、充要条件的应用已知命题p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．-5-【解】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有1－m≥－2，1＋m＜10或1－m＞－2，1＋m≤10，解得m≤3.又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}．1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m0)．因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.所以1－m≤－2，1＋m10或1－m－2，1＋m≥10.解不等式组得m9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是m≥9.2．(变问法)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．若p是q的充要条件，则－2＝1－m10＝1＋m，无解，所以m不存在．故不存在实数m，使得p是q的充要条件．由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．1．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为________．解析：化简p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，-6-由于q是p的充分条件，故有a－4≤2，a＋4≥3，解得－1≤a≤6.答案：－1≤a≤62．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．解析：p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－1a.由题意知p⇒/q，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－1a＝2或－1a＝－3，解得a＝－12或a＝13.综上可知，a＝－12或a＝13.答案：－12或13充要条件的证明求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明：充分性：(由ac0推证方程有一正根和一负根)因为ac0，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac0，所以方程一定有两个不等实根．设两根为x1，x2，则x1x2＝ca0，所以方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac0)因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设两根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝ca0，即ac0.综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：一般地，证明“p成立的充要条件为q”；-7-①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性．已知a，b是正实数，求证：a＋1b＋b＋1a＋2＝2ab的充要条件是a＋b＝1.证明：必要性：若a＋1b＋b＋1a＋2＝2ab，则a（a＋1）＋b（b＋1）＋2abab＝2ab，即a2＋a＋b2＋b＋2ab＝2，即(a＋b)2＋(a＋b)－2＝0，即(a＋b－1)(a＋b＋2)＝0，因为a，b是正实数，所以a＋b＋20，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.充分性：若a＋b＝1，则a＋1b＋b＋1a＋2＝a（a＋1）＋b（b＋1）＋2abab＝a2＋b2＋2ab＋（a＋b）ab＝（a＋b）2＋（a＋b）ab＝1＋1ab＝2ab，故a＋1b＋b＋1a＋2＝2ab的充要条件是a＋b＝1.1．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.由两个三角形全等可得，两个三角形面积相等．反之不成立．所以“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B.2．设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件-8-D．既不充分也不必要条件解析：选A.当a＝1时，N＝{1}，此时N⊆M；当N⊆M时，a2＝1或a2＝2，解得a＝1或－1或2或－2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．3．(2019·佛山检测)已知p：“x＝2”，q：“x－2＝2－x”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.由q：“x－2＝2－x”，解得x＝1(舍去)或x＝2，由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立．所以p是q的充分必要条件，故选C.4．若“x－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是______．解析：若“x－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则{x|x≤a}{x|x－1}，则a－1，即实数a的取值范围是a－1.答案：a－1[A基础达标]1．设x∈R，则“1x2”是“1x3”的()A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.“1x2”⇒“1x3”，反