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-1-章末复习提升课集合的基本概念(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9(2)若－3∈{x－2，2x2－5x，12}，则x＝________．【解析】(1)①当x＝0，y＝0，1，2时，此时x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1，y＝0，1，2时，此时x－y的值分别为1，0，－1；③当x＝2，y＝0，1，2时，此时x－y的值分别为2，1，0.综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个，故选C.(2)由题意知，x－2＝－3或2x2－5x＝－3.①当x－2＝－3时，x＝－1.把x＝－1代入，得集合的三个元素为－3，7，12满足集合中元素的互异性；②当2x2－5x＝－3时，x＝32或x＝1，当x＝32时，集合的三个元素为－12，－3，12，满足-2-集合中元素的互异性；当x＝1时，集合的三个元素为－1，－3，12，满足集合中元素的互异性，由①②知x＝－1，32，1.【答案】(1)C(2)－1，32，1解决集合的概念问题应关注的两点(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．如本例(1)中集合B中的元素为实数，而有的是数对(点集)．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验元素是否满足互异性．已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为()A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可解析：选B.由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0，3，2}，符合题意．集合的基本关系已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a＜1}，B⊆A，则实数a的取值范围为________．【解析】因为a＜1，所以2a＜a＋1，所以B≠∅.画数轴如图所示，由B⊆A知，a＋1＜－1,或2a≥1.即a＜－2，或a≥12.由已知a＜1，所以a＜－2，或12≤a＜1，即所求a的取值范围是a＜－2或12≤a＜1.【答案】a＜－2或12≤a＜1(1)判断两集合关系的两种常用方法-3-一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各个集合，从元素中寻找关系．(2)处理集合间关系问题的关键点已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、维恩图帮助分析．同时还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏．1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则下列关系正确的是()A．M＝NB．MNC．N⊆MD．NM解析：选B.由集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，N＝{0，1，2}，可知MN.2．已知集合M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有()A．1个B．2个C．4个D．8个解析：选B.|a|≥2⇒a≥2或a≤－2.又a∈M，(a－2)(a2－3)＝0⇒a＝2或a＝±3(舍)，即A中只有一个元素2，故A的子集只有2个，选B.3．已知区间A＝(0，4]，B＝(－∞，a)，当A⊆B时，实数a的取值范围为a＞c，则c＝________．解析：A＝(0，4]，B＝(－∞，a)，由A⊆B，得a＞4.所以c＝4.答案：4集合的运算(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}(2)设全集为R，集合A＝{x|3≤x6}，B＝{x|2x9}．①分别求A∩B，(∁RB)∪A；②已知C＝{x|axa＋1}，若C⊆B，求实数a的取值构成的集合．【解】(1)选C.由A∩B＝{1}得1∈B，所以m＝3，B＝{1，3}．(2)①A∩B＝{x|3≤x6}．-4-因为∁RB＝{x|x≤2或x≥9}，所以(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x6或x≥9}．②由题意可知C≠∅，因为C⊆B，如图所示，所以a≥2，a＋1≤9，解得2≤a≤8，所以所求集合为{a|2≤a≤8}．(1)集合基本运算的方法①定义法或维恩图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在维恩图中表示出来，借助维恩图观察求解；②数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解．(2)集合与不等式结合的运算包含的类型及解决办法①不含字母参数：直接将集合中的不等式解出，在数轴上求解；②含有字母参数：若字母的取值影响到不等式的解，要先对字母分类讨论，再求解不等式，然后在数轴上求解．已知集合A＝{x|－3x≤6}，B＝{x|b－3xb＋7}，M＝{x|－4≤x5}，全集U＝R.(1)求A∩M；(2)若B∪(∁UM)＝R，求实数b的取值范围．解：(1)因为A＝{x|－3x≤6}，M＝{x|－4≤x5}，所以A∩M＝{x|－3x5}．(2)因为M＝{x|－4≤x5}，所以∁UM＝{x|x－4或x≥5}，又B＝{x|b－3xb＋7}，B∪(∁UM)＝R，所以b－3－4，b＋7≥5，解得－2≤b－1.所以实数b的取值范围是{b|－2≤b－1}．全称量词命题与存在量词命题-5-写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：每一个质数都是奇数；(2)p：能被3整除的数，也能被4整除；(3)p：有些实数的绝对值是正数；(4)p：某些平行四边形是菱形．【解】(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，¬p：存在一个质数不是奇数，是真命题．(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为存在一个能被3整除的数，不能被4整除，是真命题．(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此，¬p：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题．(4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，¬p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题．全称量词命题、存在量词命题的真假判定(1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对限定集合M中每一个元素x验证q(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可．(2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题为假．判断下列命题的真假．(1)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；(2)任何实数都有算术平方根；(3)每个平面四边形的内角和都是360°；(4)至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数．解：(1)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线，故该命题为假命题．(2)当a＜0时，实数a不存在算术平方根，故该命题为假命题．(3)任意一个平面四边形的内角和都是360°，是真命题．(4)因为n2＋n＝n(n＋1)，当n为奇数时，n＋1为偶数；当n为偶数时，n＋1为奇数，故n(n＋1)一定是偶数，所以不存在一个整数n，使得n2＋n为奇数．故该命题为假命题．充分条件、必要条件的判定及应用-6-(1)“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设x∈R，则“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件．若x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3，不是必要条件．故选A.(2)由－1≤x－1≤1，得0≤x≤2，因为0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/0≤x≤2，故“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的必要不充分条件，故选B.【答案】(1)A(2)B判断充分、必要条件的方法(1)定义法：直接判断如果p，那么q，如果q，那么p的真假．(2)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出满足下列条件的式子，用序号填空：(1)使a，b都为0的必要条件是________；(2)使a，b都不为0的充分条件是________；(3)使a，b至少有一个为0的充要条件是________．解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正数一负数；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0，b为任意实数或a，b均为0；④ab＞0⇔a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，即a，b都不为0.综上可知：(1)使a，b都为0的必要条件是①②③；(2)使a，b都不为0的充分条件是④；-7-(3)使a，b至少有一个为0的充要条件是①.答案：(1)①②③(2)④(3)①1．已知集合A＝{x|2x－33x}，B＝{x|x≥2}，则()A．A⊆BB．B⊆AC．A⊆∁RBD．B⊇∁RA解析：选B.A＝{x|x－3}，B＝{x|x≥2}，所以B⊆A.2．已知集合A＝{x|x＋10}，B＝{－2，－1，0，1}，则(∁RA)∩B＝()A．{－2，－1}B．{－2}C．{－1，0，1}D．{0，1}解析：选A.因为A＝{x|x－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1}，所以(∁RA)∩B＝{－2，－1}．3．已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝()A．{1，3}B．{3，7，9}C．{3，5，9}D．{3，9}解析：选D.因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁UB，则(∁UB)∩A＝{5，9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A，7∉A，故A＝{3，9}．4．已知a，b，c是实数，下列命题结论正确的是()A．“a2＞b2”是“a＞b”的充分条件B．“a2＞b2”是“a＞b”的必要条件C．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分条件D．“|a|＞|b|”是“a＞b”的充要条件解析：选C.对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2＞b2，但是a＜b，所以充分性不成立；对于B，当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但是a2＜b2，所以必要性不成立；对于C，由ac2＞bc2得c≠0，则a＞b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|＞|b|成立，但是a＜b，所以充分性不成立，当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但是|a|＜|b|，所以必要性也不成立，故“|a|＞|b|”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选C.-8-5．命题p：∀x∈R，x3＞x2的否定形式¬p为________．解析：命题p：∀x∈R，x3＞x2的否定形式是存在量词命题，所以¬p：“∃x∈R，x3≤x2”．答案：∃x∈R，x3≤x26．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②每个二次函数的图像都是轴对称图形；③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．解析：①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝－错误!，为真命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①②③④.答案：①②③④7．已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{a，2，2a－1}．(1)求集合A；(2)若A⊆B，求实数a的值．解：(1)集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{x|(x－2)(x－3)＝0}＝{2，3}．(2