2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数概念与性质 3.3 幂函数教师用书 新人教A版必修

-1-3．3幂函数考点学习目标核心素养幂函数的概念了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式数学抽象幂函数的图象掌握五种幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1的图象特点直观想象幂函数的性质借助五种幂函数的图象，掌握五种幂函数的性质，并会应用直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P89－P91，并思考以下问题：1．幂函数的定义是什么？2．幂函数的解析式有什么特点？3．幂函数的图象有什么特点？4．幂函数的性质有哪些？1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．■名师点拨幂函数的特征(1)xα的系数为1.(2)xα的底数是自变量．(3)xα的指数为常数．只有同时满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数．2．幂函数的图象与性质(1)五种常见幂函数的图象-2-(2)五类幂函数的性质幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减增增x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减公共点都经过点(1，1)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．()(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．()(3)当幂指数α取1，3，12时，幂函数y＝xα是增函数．()(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×下列函数为幂函数的是()A．y＝2x3B．y＝2x2－1C．y＝1xD．y＝3x2-3-解析：选C.y＝2x3中，x3的系数不等于1，故A不是幂函数；y＝2x2－1不是xα的形式，故B不是幂函数；y＝1x＝x－1是幂函数；y＝3x2＝3x－2中x－2的系数不等于1，故D不是幂函数．在下列四个图形中，y＝x－12的图象大致是()解析：选D.函数y＝x－12的定义域为(0，＋∞)，是减函数．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________．解析：因为y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，所以m＝1，2n－4＝0，即m＝1，n＝2，所以m＋n＝3.答案：3幂函数的概念(1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为()A．1B．－3C．－1D．3【解析】(1)②⑦中自变量x在指数的位置，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以m2＋2m－2＝1，m0，所以m＝1.【答案】(1)B(2)A判断一个函数是否为幂函数的方法-4-判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α＝()A.12B．1C.32D．2解析：选C.由幂函数的定义知k＝1.又f12＝22，所以12α＝22，解得α＝12，从而k＋α＝32.2．已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b＝()A．2B．1C.12D．0解析：选A.因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.幂函数的图象及应用已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P2，14，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．【解】因为f(x)＝xα的图象过点P2，14，所以f(2)＝14，即2α＝14，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．-5-解决幂函数图象问题应把握的原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x12或y＝x3)来判断．幂函数f(x)＝x23的大致图象为()解析：选B.由于f(0)＝0，所以排除C，D选项．而f(－x)＝(－x)23＝3（－x）2＝3x2＝x23＝f(x)，且f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．故选B.幂函数单调性的应用角度一比较幂的大小比较下列各题中两个值的大小．(1)2.334，2.434；(2)(2)－32，(3)－32；(3)(－0.31)65，0.3565.【解】(1)因为y＝x34为[0，＋∞)上的增函数，且2.3＜2.4，所以2.334＜2.434.-6-(2)因为y＝x－32为(0，＋∞)上的减函数，且2＜3，所以(2)－32＞(3)－32.(3)因为y＝x65为R上的偶函数，所以(－0.31)65＝0.3165.又函数y＝x65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31＜0.35，所以0.3165＜0.3565，即(－0.31)65＜0.3565.比较幂值大小的方法(1)若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小．(2)若指数不同，可采用中介值法或估值法，如先与0比较大小，若都大于0，再与1比较，直到比较出所有数的大小，若中介值法不行则要采用估值法，判断各数的范围，进而比较出各数的大小．角度二解不等式若(3－2m)12＞(m＋1)12，求实数m的取值范围．【解】因为y＝x12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以3－2m≥0，m＋1≥0，3－2m＞m＋1，解得－1≤m＜23.故实数m的取值范围为－1，23.利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在x∈(0，＋∞)上为减函数，求满足不等式(a＋1)－m3＜(3a－2)－m3的实数a的取值范围．解：若幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，则为偶函数，即m为奇数，又在x∈(0，-7-＋∞)上为减函数，因而3m－9＜0，即m＜3.又m∈N*，从而m＝1.故不等式(a＋1)－m3＜(3a－2)－m3可化为(a＋1)－13＜(3a－2)－13.函数y＝x－13的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(－∞，0)与(0，＋∞)上均为减函数，因而a＋1＞3a－2＞0，或0＞a＋1＞3a－2，或a＋1＜0＜3a－2，解得a的取值范围为a|a＜－1或23＜a＜32.1．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x1a－2为幂函数，则实数a的值为()A．－1或2B．－2或1C．－1D．1解析：选C.因为f(x)＝(a2－a－1)x1a－2为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.2．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)()A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：选D.由题意设f(x)＝xn，因为函数f(x)的图象经过点(3，3)，所以3＝3n，解得n＝12，即f(x)＝x，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选D.3．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．解析：因为函数y＝x－3＝1x3在(－∞，0)上单调递减，所以当x＝－2时，ymin＝(－2)－3＝1（－2）3＝－18.答案：－184．已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值．-8-解：由题意得m2＋2m－2＝1，m2－10，2n－3＝0，解得m＝－3，n＝32，所以m＝－3，n＝32.[A基础达标]1．在下列函数中，定义域和值域不同的是()A．y＝x13B．y＝x12C．y＝x53D．y＝x23解析：选D.A，C的定义域和值域都是R；B的定义域和值域都是[0，＋∞)；D的定义域是R，值域是[0，＋∞)．故选D.2．已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，则()A．mnB．mnC．m＝nD．m与n的大小不确定解析：选B.设f(x)＝x－1，已知a≠0，则a2＋330，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则f(a2＋3)f(3)，即(a2＋3)－13－1，故mn.3．(2019·成都检测)已知a＝1.212，b＝0.9－12，c＝1.1，则()A．cbaB．cabC．bacD．acb解析：选A.b＝0.9－12＝910－12＝10912，c＝1.1＝1.112，因为f(x)＝x12在[0，＋∞)上单调递增，且1.21091.1，所以1.212109121.112，即abc.4．已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图象恒在直线y＝x的下方，则α的取值范围是()A．0α1B．α0C．α1D．α1解析：选C.由幂函数的图象特征知α1.-9-5．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：x112f(x)122则f(x)的单调递增区间是________．解析：因为f12＝22，所以12α＝22，即α＝12，所以f(x)＝x12的单调递增区间是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)6．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．故α0.答案：α＜07．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝________．解析：因为幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数．又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数，故m2－2m－30，所以m＝1.答案：18．已知函数y＝(a2－3a＋2)xa2－5a＋5(a为常数)，问：(1)当a为何值时，此函数为幂函数？(2)当a为何值时，此函数为正比例函数？(3)当a为何值时，此函数为反比例函数？解：(1)由题意知a2－3a＋2＝1，即a2－3a＋1＝0，解得a＝3±52.(2)由题意知a2－5a＋5＝1，a2－3a＋2≠0，解得a＝4.(3)由题意知a2－5a＋5＝－1，a2－3a＋2≠0，解得a＝3.9．已知幂函数f(x)＝(2m2－6m＋5)xm＋1为偶函数．(1)求f(x)的解析式；-10-(2)若函数y＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间(2，3)上为单调函数，求实数a的取值范围．解：(1)由f(x)为幂函数知2m2－6m＋5＝1，即m2－3m＋2＝0，得m＝1或m＝2.当m＝1时，f(x)＝x2，符合题意；当m＝2时，f(x)＝x3，为奇函数，不符合题意，舍去．所以f(x)＝x2.(2)由(1)得y＝f(x)－2(a－1)x＋1＝x2－2(a－1)x＋1，即函数的对称轴为x＝a－1，由题意知函数在(2，