2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数概念与性质章末复习提升课教师用书 新人教A版必修第

-1-章末复习提升课函数的定义域和值域(1)函数f(x)＝3x21－x＋(3x－1)0的定义域是()A.－∞，13B.13，1C.－13，13D.－∞，13∪13，1(2)已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域是()A.0，52B．[－1，4]C．[－5，5]D．[－3，7](3)求下列函数的值域：-2-①y＝2x＋1x－3；②y＝x＋41－x；③y＝1x－2x，x∈－2，－12.【解】(1)选D.由题意得，1－x0，3x－1≠0，解得x1且x≠13.(2)选A.设u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所以y＝f(u)的定义域为[－1，4]．再由－1≤2x－1≤4，解得0≤x≤52，即函数y＝f(2x－1)的定义域是0，52.(3)①y＝2x＋1x－3＝2（x－3）＋7x－3＝2＋7x－3，显然7x－3≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．②设t＝1－x≥0，则x＝1－t2，所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．③因为y＝1x－2x在－2，－12上为减函数，所以ymin＝1－12－2×－12＝－1.ymax＝1－2－2×(－2)＝72.所以函数的值域为－1，72.求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．(3)复合函数问题：①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．[注意](1)f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同．(2)定义域所指永远是自变量的范围．-3-1．设函数f(x)的定义域为[1，5]，则函数f(2x－3)的定义域为()A．[2，4]B．[3，11]C．[3，7]D．[1，5]解析：选A.由题意得，1≤2x－3≤5，解得2≤x≤4，所以函数f(2x－3)的定义域是[2，4]．2．设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6，2]，则m＋n的取值范围是________．解析：由题意可得：函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为直线x＝1，故当x＝1时，函数取得最大值为2.因为函数的值域是[－6，2]，令－2x2＋4x＝－6，可得x＝－1或x＝3.所以－1≤m≤1，1≤n≤3，所以0≤m＋n≤4.即m＋n的取值范围为[0，4]．答案：[0，4]函数的解析式(1)已知f(x＋1)＝x2－5x＋4，则f(x)＝________．(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x2－2x＋3.①求出函数f(x)在R上的解析式；②写出函数的单调区间(写出即可，不需要证明)．【解】(1)令x＋1＝t，则x＝t－1，因为f(x＋1)＝x2－5x＋4，所以f(t)＝(t－1)2－5(t－1)＋4＝t2－7t＋10，所以f(x)＝x2－7x＋10.故填x2－7x＋10.(2)①设x0，则－x0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.又因为f(0)＝0，所以f(x)＝x2－2x＋3（x0），0（x＝0），－x2－2x－3（x0）.②画出函数f(x)＝-4-x2－2x＋3（x0），0（x＝0），－x2－2x－3（x0）的图象，如图：由图象可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间为[－1，0)，(0，1]．求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f1x，使用解方程组法．(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．1．已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为________．解析：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得c＝1，a＋b＋c＝2，4a＋2b＋c＝5，解得a＝1，b＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋1.答案：f(x)＝x2＋12．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．解析：令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R，原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)①.以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)②.-5-由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋25，故f(x)＝2x＋25.答案：f(x)＝2x＋25函数的单调性和奇偶性已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．【解】(1)证明：∀x1x2－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2（x1－x2）（x1＋2）（x2＋2）.因为(x1＋2)(x2＋2)0，x1－x20，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)1x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a（x2－x1）（x1－a）（x2－a）.因为a0，x2－x10，所以要使f(x1)－f(x2)0，只需(x1－a)(x2－a)0恒成立，所以a≤1.综上所述，a的取值范围是(0，1]．函数单调性与奇偶性应用的常见题型(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性．(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．1．(2019·张家界检测)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是()-6-A．a≤2B．a≥－2C．－2≤a≤2D．a≤－2或a≥2解析：选D.因为y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)，所以|a|≥2，得a≤－2或a≥2，故选D.2．已知函数f(x)＝－x2－ax－5（x≤1），ax（x1）是R上的增函数，求a的取值范围．解：因为f(x)在R上是单调递增的函数，所以f(x)需满足在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上都是单调递增的，并且端点处(x＝1)的函数值－12－a－5≤a1，即a≥－3；f(x)＝－x2－ax－5的对称轴为直线x＝－a2，f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以－a2≥1，即a≤－2；f(x)＝ax在(1，＋∞)上单调递增，所以a0.综上所述，a的取值范围是[－3，－2]．函数图象及应用对于函数f(x)＝x2－2|x|.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．【解】(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.则f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．图象关于y轴对称．(2)f(x)＝x2－2|x|＝x2－2x＝（x－1）2－1，x≥0，x2＋2x＝（x＋1）2－1，x0.画出图象如图所示，根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.单调递增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；单调递减-7-区间是(－∞，－1]，[0，1]．作函数图象的方法(1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线．(2)变换法——熟知函数的图象的平移、对称、翻转．①平移：y＝f(x)――→左加右减y＝f(x±h)；y＝f(x)――→上加下减y＝f(x)±k.(其中h0，k0)②对称：y＝f(x)――→关于y轴对称y＝f(－x)；y＝f(x)――→关于x轴对称y＝－f(x)；y＝f(x)――→关于原点对称y＝－f(－x)．1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果abc且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是()解析：选D.因为abc且a＋b＋c＝0，所以a0，c0，f(1)＝0，则可知开口向上，排除A、C，然后根据f(0)＝c0，可知函数图象与y轴的交点在x轴下方．2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x.求x∈[－3，5]时，f(x)＝12的所有解的和．解：当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，所以f(－x)＝－x.又因为f(x)为奇函数，所以x∈[－1，0]时，f(x)＝－f(－x)＝x，即x∈[－1，1]时，f(x)＝x.又由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f(x)在[－3，5]上的图象如图：在同一坐标系内画出y＝12的图象，由图可知在[－3，5]上共有四个交点，-8-所以f(x)＝12在[－3，5]上共有四个解，从左到右记为x1，x2，x3，x4，则x1与x4，x2与x3关于直线x＝1对称，所以x1＋x42＝1，x2＋x32＝1，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4.函数的应用某工厂有214名工人，现要生产1500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每名工人加工5个A型零件与3个B型零件所需的时间相同．现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件，且同时开工．设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件5k(k∈N*)个，加工完A型零件所需的时间为g(x)，加工完B型零件所需的时间为h(x)．(1)试比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务所需时间的表达式；(2)怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？【解】(1)由已知A型零件需要生产4500个，B型零件需要生产1500个，加工B型零件的工人有(214－x)名，单位时间内每名工人加工B型零件3k个．所以g(x)＝45005kx＝900kx，h(x)＝15003k（214－x）＝500k（214－x）.则g(x)－h(x)＝900kx－500k（214－x）＝200k·963－7xx（214－x）.因为0＜x＜214，且x∈N，k∈N*，所以当0＜x≤137时，g(x)＞h(x)，当137＜x＜214时，g(x)＜h(x)．所以f(x)＝900kx，0＜x≤137，500k（214－x），137＜x＜214，其中x∈N.(2)因为当0＜x≤137时，f(x)为减函数，当137＜x＜214时，f(x)为增函数，且f（137）f（138）＝900137k·（214－138）k500＝9×76137×5＜1，所以当x＝137时f(x)的值最小，即安排137名工人加工A型零件，77名工人加工B型零件时，完成总任务所需时间最少．-9-解应用题的基本步骤(1)审题：读懂题意，分清条件与结论，理顺数量关系；(2)建模：将已知条件转化为数学语言，应用数学知识建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将数学方面的结论还原到实际问题中去，解释实际意义．某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台机器时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为F(x)＝5x－12x2(0≤x≤5)，其中x是产品生产的数量(单位：百台)．(1)将利润表示为产量的函数；(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？解：(1)设利润函数为G(x)，成本函数为