2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数概念与性质 3.4 函数的应用（一）教师用书 新人

-1-3．4函数的应用(一)考点学习目标核心素养一次函数模型会建立一次函数模型解决实际问题数学建模二次函数模型会建立二次函数模型解决实际问题数学建模幂函数模型会用解决与幂函数有关的实际问题数学建模分段函数模型会利用分段函数解决与之相关的实际问题数学建模一次函数模型为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示：(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．【解】(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝15，k2＝12.所以y1＝15x＋29(x≥0)，y2＝12x(x≥0)．(2)令y1＝y2，即15x＋29＝12x，则x＝9623.当x＝9623时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x＜9623时，y1＞y2，使用“便民卡”便宜；当x＞9623时，y1＜y2，使用“如意卡”便宜．-2-利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点：(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法．(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km，之后以120km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求火车离开北京2h时火车行驶的路程．解：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝115(h)，所以0≤t≤115.因为火车匀速行驶th所行驶的路程为120tkm，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s＝13＋120t0≤t≤115.火车离开北京2h时火车匀速行驶的时间为2－16＝116(h)，此时火车行驶的路程s＝13＋120×116＝233(km)．二次函数模型有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．【解】设小矩形的长为x，宽为y，窗户的面积为S，则由图可得9x＋πx＋6y＝l，所以6y＝l－(9＋π)·x，所以S＝π2x2＋4xy＝π2x2＋23x·[l－(9＋π)·x]＝－36＋π6x2＋23lx＝－36＋π6·x－2l36＋π2＋2l23（36＋π）.要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S最大．由6y＞0，得0＜x＜l9＋π.因为0＜2l36＋π＜l9＋π，所以当x＝2l36＋π，y＝l－（9＋π）x6＝l（18－π）6（36＋π），即xy＝1218－π时，窗户的面积S有-3-最大值，且Smax＝2l23（36＋π）.二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题．渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值．解：(1)根据题意知，空闲率是m－xm，故y关于x的函数关系式是y＝kx·m－xm，0≤x＜m.(2)由(1)知，y＝kx·m－xm＝－kmx2＋kx＝－kmx－m22＋mk4，0≤x＜m，则当x＝m2时，y取得最大值，ymax＝mk4.所以鱼群年增长量的最大值为mk4.幂函数模型某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？【解】(1)设两类产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2x(x≥0)，结合已知得f(1)＝18＝k1，g(1)＝12＝k2，所以f(x)＝18x(x≥0)，g(x)＝12x(x≥0)．(2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元，依题意得获得收益为y-4-＝f(x)＋g(20－x)＝x8＋1220－x(0≤x≤20)，令t＝20－x(0≤t≤25)，则x＝20－t2，所以y＝20－t28＋t2＝－18(t－2)2＋3，所以当t＝2，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3.故当投资稳健型产品16万元，投资风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．幂函数模型应用的求解策略(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式．(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为400cm3/s，求该气体通过半径为rcm的管道时，其流量R的函数解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量(精确到1cm3/s)．解：(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．(2)由r＝3cm，R＝400cm3/s，得k·34＝400，所以k＝40081，所以流量R的函数解析式为R＝40081·r4.(3)因为R＝40081·r4，所以当r＝5cm时，R＝40081×54≈3086(cm3/s)．分段函数模型提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)【解】(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，-5-由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤x≤20，13（200－x），20＜x≤200.(2)依题意并结合(1)可得f(x)＝60x，0≤x≤20，13x（200－x），20＜x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)在区间[0，20]上取得最大值60×20＝1200；当20＜x≤200时，f(x)＝13x(200－x)＝－13(x－100)2＋100003≤100003，当且仅当x＝100时，等号成立．所以当x＝100时，f(x)在区间(20，200]上取得最大值100003.综上可得，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值100003≈3333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型．(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．某旅游景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．旅游景区规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元．用x(单位：元，且x∈N)表示每辆自行车的日租金，用y(单位：元)表示出租的自行车的日净收入．(注：日净收入等于每日出租的自行车的总收入减去管理费用)(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？解：(1)当3≤x≤6，且x∈N时，y＝50x－115.-6-当6＜x≤20，且x∈N时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115，综上，y＝f(x)＝50x－115，3≤x≤6，x∈N，－3x2＋68x－115，6＜x≤20，x∈N.(2)当3≤x≤6，且x∈N时，因为y＝50x－115是增函数，所以当x＝6时，ymax＝185.当6＜x≤20，且x∈N时，y＝－3x2＋68x－115＝－3x－3432＋8113，所以当x＝11时，ymax＝270.综上，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．1．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1000吨，则每吨800元，购买2000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨()A．820元B．840元C．860元D．880元解析：选C.设y＝kx＋b，则1000＝800k＋b，且2000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9000，则y＝－10x＋9000.解400＝－10x＋9000，得x＝860(元)．2．某品牌电动车有两个连锁店，其月利润(单位：元)分别为y1＝－5x2＋900x－16000，y2＝300x－2000，其中x为销售量．若某月两店共销售了110辆电动车，则最大利润为()A．11000元B．22000元C．33000元D．40000元解析：选C.设两个店分别销售出x与110－x辆电动车，则两店月利润L＝－5x2＋900x－16000＋300(110－x)－2000＝－5x2＋600x＋15000＝－5(x－60)2＋33000，所以当x＝60时，两店的月利润取得最大值，为33000元．3．某数学练习册，定价为40元．若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券．某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为________(代金券相当于等价金额)．解析：当0＜x＜10时，f(x)＝40x；当10≤x＜20时，f(x)＝35x－10；当20≤x≤40时，f(x)＝30x－20.所以f(x)＝40x，0＜x＜10，35x－10，10≤x＜20（x∈N*）.30x－20，20≤x≤40-7-答案：f(x)＝40x，0＜x＜10，35x－10，10≤x＜20（x∈N*）30x－20，20≤x≤404．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限内有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：(1)令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件，知x＞0，k＞0，故x＝20k1＋k2＝20k＋1k＝20k－1k2＋2≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10km.(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标等价于存在