2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.3.1 对数的概念教师用书 新

-1-4．3.1对数的概念考点学习目标核心素养对数了解对数、常用对数、自然对数的概念，会用对数的定义进行对数式与指数式的互化数学抽象、数学运算对数的基本性质理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值数学运算问题导学预习教材P122－P123，并思考以下问题：1．对数的概念是什么？2．对数式中底数和真数分别有什么限制？3．什么是常用对数和自然对数？1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．■名师点拨logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．对数式与指数式的关系3．常用对数与自然对数4．对数的基本性质(1)负数和0没有对数．(2)loga1＝0(a＞0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a＞0，且a≠1)．-2-判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对数log39和log93的意义一样．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()答案：(1)×(2)×(3)√若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有()A．log2M＝aB．logaM＝2C．loga2＝MD．log2a＝M答案：B把对数式loga49＝2写成指数式为()A．a49＝2B．2a＝49C．492＝aD．a2＝49答案：Dlog32x－15＝0，则x＝________．答案：3指数式与对数式的互化将下列指数式与对数式互化：(1)ea＝16;(2)64－13＝14；(3)log39＝2;(4)logxy＝z(x＞0且x≠1，y＞0)．【解】(1)loge16＝a，即ln16＝a.(2)log6414＝－13.(3)32＝9.(4)xz＝y.-3-将下列指数式与对数式互化：(1)log216＝4;(2)log1327＝－3；(3)43＝64;(4)14－2＝16.解：(1)由log216＝4可得24＝16.(2)由log1327＝－3可得13－3＝27.(3)由43＝64可得log464＝3.(4)由14－2＝16可得log1416＝－2.利用对数式与指数式的关系求值求下列各式中x的值：(1)log27x＝－23；(2)logx16＝－4；(3)lg11000＝x;(4)－lne－3＝x.【解】(1)因为log27x＝－23，所以x＝27－23＝(33)－23＝3－2＝19.(2)因为logx16＝－4，所以x－4＝16，即x－4＝24.所以1x4＝24，所以1x＝2，即x＝12.(3)因为lg11000＝x，-4-所以10x＝10－3，所以x＝－3.(4)因为－lne－3＝x，所以－x＝lne－3，即e－x＝e－3，所以x＝3.求对数式logaN(a0，且a≠1，N0)的值的步骤(1)设logaN＝m.(2)将logaN＝m写成指数式am＝N.(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.求下列各式的值：(1)log525；(2)log2116；(3)lg1000；(4)lg0.001.解：(1)设x＝log525，则5x＝25＝52，所以x＝2，即log525＝2.(2)设x＝log2116，则2x＝116＝2－4，所以x＝－4，即log2116＝－4.(3)设x＝lg1000，则10x＝1000＝103，所以x＝3，即lg1000＝3.(4)设x＝lg0.001，则10x＝0.001＝10－3，所以x＝－3，即lg0.001＝－3.利用对数的性质求值求下列各式中x的值：(1)log3(lgx)＝1；(2)log3[log4(log5x)]＝0.【解】(1)因为log3(lgx)＝1，所以lgx＝31＝3，所以x＝103＝1000.(2)由log3[log4(log5x)]＝0可得log4(log5x)＝1，-5-故log5x＝4，所以x＝54＝625.利用对数的性质求值的方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．求下列各式中的x的值：(1)log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1；(2)log2[log3(log4x)]＝0.解：(1)由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1得3x2＋2x－1＝2x2－1，3x2＋2x－1＞0，2x2－1＞0且2x2－1≠1，解得x＝－2.(2)由log2[log3(log4x)]＝0，可得log3(log4x)＝1，故log4x＝3，所以x＝43＝64.1．2－3＝18化为对数式为()A．log182＝－3B．log18(－3)＝2C．log218＝－3D．log2(－3)＝18答案：C2．若loga2b＝c则()A．a2b＝cB．a2c＝bC．bc＝2aD．c2a＝b解析：选B.loga2b＝c⇔(a2)c＝b⇔a2c＝b.3．求下列各式中x的值：(1)x＝log224；(2)x＝log93.-6-解：(1)由已知得22x＝4，所以2－x2＝22，－x2＝2，解得x＝－4.(2)由已知得9x＝3，即32x＝312.所以2x＝12，x＝14.[A基础达标]1．如果a3＝N(a＞0，a≠1)，则有()A．log3N＝aB．log3a＝NC．logaN＝3D．loga3＝N答案：C2．log3181等于()A．4B．－4C.14D．－14解析：选B.因为3－4＝181，所以log3181＝－4.3．对数式M＝log(a－3)(10－2a)中，实数a的取值范围是()A．(－∞，5)B．(3，5)C．(3，＋∞)D．(3，4)∪(4，5)解析：选D.由题意得10－2a0，a－30，a－3≠1，解得3a4或4a5，即a的取值范围是(3，4)∪(4，5)．4．已知log2x＝3，则x－12等于()A.13B.123C.133D.24-7-解析：选D.因为log2x＝3，所以x＝23＝8.所以x－12＝8－12＝122＝24.故选D.5．已知loga12＝m，loga3＝n，则am＋2n等于()A．3B.34C．9D.92解析：选D.由已知得am＝12，an＝3.所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝12×32＝92.故选D.6．若log22x－53＝1，则x＝________．解析：因为log22x－53＝1，所以2x－53＝2.即2x－5＝6.解得x＝112.答案：1127．已知f(x)＝2－x，x≤1，log81x，x＞1，则满足f(x)＝14的x的值为________．解析：由题意得①x≤1，2－x＝14或②x＞1，log81x＝14，解①得x＝2，与x≤1矛盾，故舍去，解②得x＝3，符合x＞1.所以x＝3.答案：38．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．(1)log2x＝－25；-8-(2)logx3＝－13.解：(1)因为log2x＝－25，所以x＝2－25＝1225＝154.(2)因为logx3＝－13，所以x－13＝3，即x＝3－3＝127.9．若log12x＝m，log14y＝m＋2，求x2y的值．解：因为log12x＝m，所以12m＝x，x2＝122m.因为log14y＝m＋2，所以14m＋2＝y，y＝122m＋4.所以x2y＝122m122m＋4