2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数（第3课时）不同函

-1-第3课时不同函数增长的差异考点学习目标核心素养函数模型的增长差异了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义数学抽象、数学建模函数模型的选取能根据具体问题选择函数模型，构建函数模型求解问题数学建模问题导学预习教材P136－P138，并思考以下问题：1．函数y＝kx(k0)、y＝ax(a1)和y＝logax(a1)在(0，＋∞)上的单调性是怎样的？2．函数y＝kx(k0)、y＝ax(a1)和y＝logax(a1)的增长速度有什么不同？三种函数模型的性质y＝kx(k＞0)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势一条直线随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行增长速度(1)y＝ax(a＞1)随着x的增大，y增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k0)的增长速度(2)y＝logax(a1)随着x的增大，y增长速度越来越慢，不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当xx0时，恒有logaxkx判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．()-2-(2)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．()(3)当a1，k0时，对∀x∈(0，＋∞)，总有logaxkxax.()答案：(1)√(2)×(3)×下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝exB．y＝lnxC．y＝2xD．y＝e－x答案：A已知y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x，当2x4时，有()A．y1y2y3B．y2y1y3C．y1y3y2D．y2y3y1答案：A某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·ex＋bD．y＝alnx＋b解析：选B.由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.函数模型的增长差异四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________．【解析】从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变-3-量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．故填y2.【答案】y2常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝2xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x解析：选D.由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.函数模型的选取某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年的生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201620172018产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年．现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？【解】建立生产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)．(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点坐标代入，-4-可得a＋b＋c＝8，4a＋2b＋c＝18，9a＋3b＋c＝30，解得a＝1，b＝7，c＝0，则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，将点坐标代入，可得ab＋c＝8，ab2＋c＝18，ab3＋c＝30，解得a＝1253，b＝65，c＝－42，则g(x)＝1253×65x－42，故g(4)＝1253×654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，二次函数模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系．不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．-5-1．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x解析：选B.D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A.一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型解析：选A.随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．3．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：x1.99345.18y0.991.582.012.353.00现有如下4个模拟函数：①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．解析：画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④.答案：④4．已知函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．-6-(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)f(x)，当x∈(x1，x2)时，g(x)f(x)，当x∈(x2，＋∞)时，g(x)f(x)．[A基础达标]1．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，正确的是()解析：选D.函数y＝ax与y＝logax的单调性相同，由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中0a1，选项B中a1，显然y＝ax的图象不符，排除A，B，故选D.2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()解析：选C.小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：-7-x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是()A．y＝2x－2B．y＝12xC．y＝log2xD．y＝12(x2－1)解析：选D.法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5、3.5、4.5、6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.4．据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万、0.76万，则该地区这三个月的用工人数y(万人)关于月数x的函数关系式近似是()A．y＝0.2xB．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x解析：选C.对于A，当x＝3时，y＝0.6，与0.76差距较大，故排除A；对于B，当x＝3时，y＝1.5，与0.76差距较大，故排除B；对于D，当x＝3时，y＝0.2＋log163≈0.6，与0.76差距较大，故排除D，故选C.5．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)g(x)h(x)B．g(x)f(x)h(x)C．g(x)h(x)f(x)D．f(x)h(x)g(x)解析：选B.由函数性质可知，在(4，＋∞)内，指数函数g(x)＝2x增长速度最快，对数函数h(x)＝log2x增长速度最慢，所以g(x)f(x)h(x)．6．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．解析：把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．答案：甲7．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比lnx增长要快，所以x2要比xlnx增长得要快．答案：y＝x2-8-8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与④对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与①对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与③对应，D容器慢，与②对应．答案：④①③②9．画出函数f(x)＝x与函数g(x)＝14x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示：根据图象易得：当0≤x＜4时，f(x)g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x4时，f(x)g(x)．10．每年的3月12日是植树节，